矢量分析与场论课后答案..doc

矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 解： ，其图形是平面上之椭圆。 ，其图形是平面与圆柱面之交线，为一椭圆。 4．求曲线的一个切向单位矢量。 解：曲线的矢量方程为 则其切向矢量为 模为 于是切向单位矢量为 6．求曲线在处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 切向矢量为 在处， 7.求曲线 在对应于 的点M处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得曲线矢量方程为 在的点M处，切向矢量 于是切线方程为 于是法平面方程为，即 8．求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。 解：曲线切向矢量为， ⑴ 平面的法矢量为，由题知 得。将此依次代入⑴式，得 故所求点为 习题2 1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 解：场所在的空间区域是除外的空间。 等值面为，这是与平面平行的空间。 场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。 等值面为， 当时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当时，是除原点外的平面。 2．求数量场经过点的等值面方程。 解：经过点等值面方程为 ， 即，是除去原点的旋转抛物面。 3．已知数量场，求场中与直线相切的等值线方程。 解：设切点为，等值面方程为，因相切，则斜率为 ，即 点在所给直线上，有 解之得 故 4．求矢量的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为 ， 或 有 解之得 5.求矢量场通过点的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为 由， 按等比定理有即解得 故矢量线方程为又求得 故所求矢量线方程为 习题3 1．求数量场在点处沿的方向导数。 解：因，其方向余弦为 在点处有 所以 2．求数量场在点处沿曲线朝增大一方的方向导数。 解：所求方向导数，等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为， 其方向余弦为 又。 于是所求方向导数为 3．求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大？ 解： 因， 当时，方向导数最大。 即函数沿梯度方向的方向导数最大 最大值为。 4.画出平面场中的等值线，并画出场在与点处的梯度矢量，看其是否符合下面事实： （1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小； （2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向增大的方向。 解：所述等值线的方程为：其中第一个又可以写为 为二直线，其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线 （如下图, 图中 ） 由于 故 由图可见，其图形都符合所论之事实。 5．用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。 直接应用方向导数公式； 作为梯度在该方向上的投影。 解：点P的矢径其模其方向余弦为 又 所以 故 6，求数量场在点与点处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？ 解： 其模依次为： 于是的方向余弦为 的方向余弦为 求使之点，即求坐标满足之点，由此解得故所求之点为 7．通过梯度求曲面上一点处的法线方程。 解：所给曲面可视为数量场的一张等值面，因此，场在点 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即 故所求的法线方程为 习题 4 1.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量。【提示：注意S的法矢量n与r同指向】 解： 2.设S为曲面求流速场在单位时间内下侧穿S的流量Q。 解： 其中D为S在xOy面上的投影区域：用极坐标计算，有 3.设S是锥面在平面的下方部分，求矢量场向下穿出S的通量。 解：略 4.求下面矢量场A的散度。 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 5.求在给定点处的值：（1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） ， 故。 6.已知求。 解： 故 7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量： （1） （2） 解：（1） 其中为S所围之球域今用极坐标计算，有 （2） 习题五 求一质点在力场的作用下沿闭曲线 从运动一周时所做的功。 解：功 2.求矢量场沿下列曲线的环量： （1）圆周； （2）圆周。 解：（1）令，则圆周的方程成为，于是环量 （2）令，则圆周的方程成为 ，于是环量 3.用以下两种方法求矢量场在点M（1,2,3）处沿方向的环量面密度。 （1）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。 解：（1）故的方向余弦为 又根据公式，环量面密度 (2)于是 4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1