和与积的关系.doc

积的最大与最小 基础知识篇 导入：周长为20厘米的长方形与正方形（边长为整数）谁的面积大？ 1、提出问题后学生有两种答案（正方形或长方形），举手表决，看赞成哪种答案的学生较多。 2、教师提问：周长为20厘米的正方形面积是多少？（5×5=25） 3、教师提问：周长为20厘米的长方形面积是多少，能不能确定长方形的面积具体是多少？（不能）× 4、我们能确定周长是20的长方形的长+宽的和是多少？（长+宽=10） 5、学生列举长+宽=10的情况有哪几种。 长 宽 9 × 1=9 8 × 2=16 7 × 3=21 6 × 4=24 5 × 5=25 得出结论：周长相等的长方形、正方形，正方形的面积大。 学生自主探索当长+宽=9 时的结果。 长 宽 8 × 1=8 7 × 2=14 6 × 3=18 5 × 4=20 得出结论：1、当两数的和一定时，两数的差越小，乘积就越大，当两数相等时积最大。 2、当两数的和一定时，两数的差越大，积就越小。 例1 和是10的两个自然数，这两个数的乘积最大是多少？和是9的两个自然数，这两个数的乘积最大是多少，最小是多少？ 分析与解：要使积最大，则两个数之间的差要最小，5+5=10时，两数相等，两数的乘积最大；5+4=9时，两数相差最小，两数的乘积最大。要使两数的乘积最小，则两个数之间的差要最大， 1+8=9时，两数之间的差最大，两数之间的乘积最小。 练习：1、用30厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整数），要使面积最大，长和宽各是多少？面积最大是多少？ 例2用长36米的竹篱笆围成长方形一个菜园，围成菜园的最大面积是多少？ 分析与解：已知这个菜园的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=36÷2=18（米）由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81米2） 练习：龙大爷想在笔直的墙下用20米的塑料网围成一个长方形鸡舍，鸡舍的面积最大是多少？ 例3比较下面两个乘积的大小： 　　a87596512， b87596515。 分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因57128460多387596515少3，所以它们的两因数之和相等，8759651287596515。 因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。 练习：比较下面两个乘积的大小： 　　a67546514， b67546518。 能力提高篇 例4 三个不同质数的和是100，这三个数的乘积最大是多少？ 分析与解：100是个偶数，若三个质数都是奇数，则三个奇数相加的和不可能是偶数，所以其中必然有一个数是2，另两个数的和就是98，要使乘积最大，这两个数之间的差要最小，这两个数分别是37、61，所以乘积最大是2×37×61=4736。 练习：三个不同质数的和是50，要使者三个数的乘积最小，这三个分别是多少？ 例5要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？ 分析与解：将72分解成两个自然数的乘积， 72=1×72，1+72=73； 　　72=2×36，2+36=38； 　　72=3×24，3+24=27； 　　72=4×18，4+18=22； 　　72=6×12，6+12=18； 72=8×9， 8+9=17； 这两个自然数的差最小的是9-8=1。猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）。 得出结论：3、两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小，两个自然数的差越大，这两个数的和也越大。 练习：.现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面，为将剩下的材料尽量用完，要求围墙最长，那么这块长方形地的围墙有多少米长？ 例6 已知三个非零自然数的和是15，这三个数的乘积最大是多少？ 分析与解：分别设三个数为a、b、c，积=a×b×C，要使积最大，这三个数之间的差要最小，当a=b=c时，他们之间的差最小（相差“0”），所以a=b=c=5时乘积最大。 练习：四个非零自然数的和是24，这四个数的乘积最大是多少？ 小结：几个数的和一定，当几个数相等时，积最大。 例7 若将12拆分成几个自然数的和，这几个数的乘积最大是多少？ 分析与解：将12拆分成几个相等的数，可以拆分成六个2,四个3，三个4，而四个3相乘的积最大，所以积最大为3×3×3×3=81。 练习：将21