（精）泊松方程和拉普拉斯方程.ppt

静电场计算中的两类问题 2.5 泊松方程和拉普拉斯方程 微分形式： 2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式 两种不同媒质分界面的边界条件 边界条件 构成边值问题必不可少的条件; 判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变; * 第二章 静 电 场 ——已知场空间分布，求源电荷分布 利用高斯定理的微分形式 ——已知源电荷分布，求空间场分布 电荷分布在有限区域内，场区域为无限大， 且其中的介质是均匀线性和各向同性的。 应用场强叠加原理 场区域有限 区域边界上场量要受到某种边界条件限制 ————边值问题 利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性） 直接法 间接法 积分形式: 2.5.1 静电场的基本方程 本构关系: 线形、各向同性媒质 静电场:无旋有散场 电位 满足的泊松方程 当 场中无电荷分布 (即 )的区域: 拉普拉斯方程 拉普拉斯算子 直角坐标系中: 圆柱坐标系中: 球坐标系中: 四 . 一维泊松方程的求解 P.66 例2-9 例2-10 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的函数。 ; (1) 分别列出球内、外的电位方程: 当r≤a时, 当r≥a时, 将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解: (2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; ①r=a, φ1=φ2; ; ②r=a, ③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ; ④r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数: 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。 平板形体电荷的几何关系 ［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程: 将上面三个方程分别分两次可得 由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。 (2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: ① 时, φ1=φ2; (交界面上无自由面电荷); ②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。 ③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ; 由条件②、 ③可得: 由条件①可得 根据公式 可求得三个区域的电场分布: ※ 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系 将场量在分界面上分解成: 法向normal分量 (以下标n表示) ----- 垂直于分界面 切向tangency分量 (以下标t表示) ----- 平行于分界面 由静电场基本方程的积分形式: 2.6 分界面上的边界条件 两种不同媒质分界面的边界条件 法向边界条件 切向边界条件 法向边界条件 一. D满足的边界条件 若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时: 或 或 结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续 高斯通量定理 (1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故 ☆ 两种特殊情况 (2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则 即 结论: 当ε1≠ε2时, E的法向分量不连续,