利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业..docx

利用Matlab实现Romberg数值积分算法一、内容摘要针对于某些多项式积分，利用Newton—Leibniz积分公式求解时有困难，可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用Matlab中的.m文件编写了复化梯形公式与Romberg的数值积分算法的程序，求解多项式的数值积分，比较两者的收敛速度。二、数值积分公式1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的Newton—Cotes求积公式:=其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似在区间[a,b]上的积分值，截断误差为：具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求，因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式：=其截断误差为：2.Romberg数值积分算法使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用Romberg数值积分。其思想主要是，根据的近似值加上与的近似误差，作为新的的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。用近似所产生的误差可用下式进行估算：新的的近似值：=（0 1 2 ….）Romberg数值积分算法计算顺序i=0(1)i=1(2)(3)i=2(4)(5)(6)i=3(7)(8)(9)(10)i=4(11)(12)(13)(14)…………其中，第一列是二阶收敛的，第二列是四阶收敛的，第三列是六阶收敛的，第四列是八阶收敛的，即Romberg序列。三、复化梯形法以及Romberg算法程序流程图图1 复化梯形法程序流程图图2 Romberg算法程序流程图四、计算实例依据上文所述的流程图，编写复化梯形程序以及Romberg算法程序，并且利用实例验证程序的正确性，示例如下(计算精度)：表2 计算结果计算精度0.5×10^-50.5×10^-70.5×10^-9复化梯形算法时间0.0698263946330.2166358023043.459824945493近似值3.1415901104583.1415926138533.141592653434Romberg算法时间0.0456873297100.0433617263570.044913907518近似值3.1415925024583.1415926512243.141592653552从上表中可以看出，当要求的计算精度不高时，复化梯形算法与Romberg算法计算时间相差不太大，但是Romberg算法是要快于复化梯形算法的；当要求的计算精度更高的时候，Romberg算法是明显快于复化梯形算法。本文所编写的程序适用于多项式的数值积分，且对于积分区间内，被积函数在每一点必须有定义，在以后的学习中进一步改进。附录：1.复化梯形算法程序function []=sf(a,b,m,M,d)ticdisp(请输入分子多项式a，分母多项式b，积分下限m,积分上限M,以及计算精度d)f=poly2sym(a)/poly2sym(b) %用于给用户显示被积函数的形式%利用梯形公式计算此数值积分disp(利用梯形公式计算数值积分的结果)kk=zeros(); %用于存放结果kk(1,1)=1/2*(M-m)/1*(subs(f,x,m)+subs(f,x,M)) %先存储首项for i=1:1:2^30 t=0; for j=0:1:2^(i-1)-1 v=m+(2*j+1)*(M-m)/(2^i) vv=polyval(a,v)/polyval(b,v); t=t+(M-m)/(2^i)*vv end y=1/2*kk(i,1)+t %通项公式计算各项值 kk(i+1,1)=y %存储其他项 f=i+1; %记录符合条件的值的下标 if(1/3*(kk(i+1,1)-kk(i,1))=d) break; endendtime=tocfprintf(The result is %f\n, kk(f,1))2.Romberg算法程序function []=romberg(a,b,m,M,d)ticdisp(请输入分子多项式a，分母多项式b，积分下限m,积分上限M,以及计算精度d)f=poly2sym(a)/pol