初等几何研究..doc

1.（证明线段相等） 例1：在的两边AB、AC上向外做正方形ABEF和ACGH，则BC边上的高线AD平分FH。 证明：过点F作,过点H作 在中 在 在 即M为FH的中点。 2：C是弦AB的中点，通过C引弦PQ，并在此弦两端作圆的切线PX和QY。它们交直线AB于X、Y。证PX=QY、AX=BY。 3：AB是圆的直径，从圆上一点C作于D。且在A、C两点的切线相交于E，证明：BE平分CD。 证明:过点B作交EC于F 即BE平分CD。 4：设AD、BE、CF是的高线，则称为垂足三角形。证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角。 证明：FCDM共圆 DBEM共圆 即AD平分 同理可得BF平分,CE平分 即这三条高线平分的内角或外角。 5：二圆外切于P，一圆在其上一点C的切线交另一圆于A、B。求证：PC是的外角平分线。 6：等边三角形外接圆周上任意一点到顶点连线中最长的等于其余两线之和。 证明：延长BP至.使, 则为等边三角形 在中 7：三角形在一顶点到垂心距离二倍于外心到对边的距离。 H是的垂心，O是外心。于L，求证：。 证明，设M,K各为CA，CH的中点， , 四边形OLKM为平行四边形 8：三角形中大边上的中线较小。已知，,,为三边中点，. 求证：. 证明： 在中 即 所以. 9：从三角形顶点向另两角的平分线作垂线、,、为垂足。求证. 证明： AFHE四点共圆， 10：三角形中大边的高较小。已知,,为高。求证。 证明： 11：过圆外一点做切线,由的中点作割线,连，交圆于,. 求证：. 证明：PA为切线，B为PA中点 相似与 12：三角形外接圆周上的任意一点到三边(所在直线上)的射影共线。 已知：内接于圆,为弧上任意一点，过作,,,, ,为垂足。求证：，，共线。 证明：PXBZ四点共圆， PXYC四点共圆， X,Y,Z三点共线。 13定理：设的三边（所在直线）,,分别被一直线所截，交点为，，。则有. 证明：过点C作CD//XZ 14逆定理（梅氏定理）：设定三边（所在直线）,,上各取一点，，，满足，则，，共线。 证明：设XY交AB与 则有并且 相同 所以X,Y,Z三点共线。 15、Ptolemy：圆内接四边形两对角线乘积等于两组对边乘积之和。 已知内接于圆，求证 证明：作交BD与E 又 相似于 相似于 两个平移的乘积是一个平移。 证明：设两个平移为PQ和QR，不妨设他们有公共点Q，图形上一点为M经平移PQ后，得到对应图形，再经QR平移后得到对应图形，显然,所以可由M经过平移PR得到。 17任意四边形中一组对边中点的连线不大于另一组对边和的一半。 已知M,N是AB,CD中点，求证 证明：过M作BE//AM,过M作ME//AB过C作CF//DM,过M作FM//DC。 N为BC的中点， E,F过点N，则四边形BECF为平行四边形 M,N为中线 在相等的图形中，与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线。 已知，A,B,C共线，F与F’相等，A’,B’,C’为A,B,C的对应点，求证A’,B’,C’共线。 证明：A,B,C共线 F与F’相等 ∴ ∴。 19、圆的外接等腰梯形中，面积最小满足什么条件。 设AD=2X,BC=2Y 则 ， 所以当X=Y是达到最小。即等腰梯形是正方形是达到最小。 在半径为r的园内求最大周长的内接矩形。 解：周长为, 因为X,Y,r为正数，且为定值， 所以，当且仅当时达到最大， 即X=Y时最大， 所以时最大。 第一类：设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆圆心个一个半径加倍的同心圆的并 第二类：一点与一定圆的距离等于圆半径的轨迹是一点和一个圆的并 第三类：一点与一定圆的距离等于圆半径的点的轨迹。 设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆圆心个一个半径加倍的同心圆的并。 证明：1完备性： 设P在圆O内部，则PO=OA-PA=0，即P与圆心O重合， 设P在圆O外部，则OP=OA+AP=2r,即P在比圆O半径大一倍的圆上。 2纯粹性：首先，根据定义，点O到圆O的半径是r，进点O合与条件，其次在圆 O（2r）上任取一点P，因为点P在圆O（r）外部，线段OP必交于圆上一点A,且 AP=OP-OA=2r-r=r,即点P合于条件。 3所以合乎条件的点的轨迹是点O和圆O（2r）的并集。 23探求轨迹的有效办法概述 A描述 B预测轨迹的性质