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函数与极限 第二节 数列的极限 概念的引入 数列的定义 数列的极限 数列极限的性质 [教学重点与难点] 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支------微分学和积分学。 一、概念的引入 二、数列的定义 四、数列极限的性质 3.保号性 4.收敛数列与子数列的关系 五.小结 三、数列的极限 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 09高数 注意理解定量的数列极限的定义； 理解数列极限的三个定理 0 x 观察数列 的变化趋势： 1 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播播放放 ——刘徽 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法 割圆术，就是极限思想在几何上的应用。 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 战国时期的一部哲学著作，叫庄子“天下篇”，其中惠斯有这样一句话： 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播1放 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 三要素 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 注意： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例3 例4 例5 1.有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 例 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 数列: 研究其变化规律; 数列极限: 极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性 . 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 练 习 题 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 * *