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数列递推通项公式求法小结.
常见递推数列通项的求法
对于由递推式所确定的数列通项公式问题,往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列,从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型,下面介绍常见递推数列求通项的基本求法。
类型1、 型
解题思路:利用累差迭加法,将,=,…,=,各式相加,正负抵消,即得.
例1、在数列{}中,,,求通项公式.
解:原递推式可化为:
则
,……,
逐项相加得:.故.
例2.在数列中,且,求通项.
解:依题意得,,,把以上各式相加,得
【】是一常数,即第一种类型,直接可得是一等差数列;若非常数,而是关于的一个解析式,可以肯定数列不是等差数列,将递推式中的分别用代入得个等式相加,目的是为了能使左边相互抵消得,而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
例3、已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由
得
则
所以
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
练习:
已知满足,求的通项公式。
已知的首项,()求通项公式。
已知中,,,求。
类型2. 型
解题思路:利用累乘法, 将各式相乘得,,即得.
例4.在数列中,,,求通项.
解:由条件等式得,,
得.
【】得,,则数列是以为首项,以1为公比的等比数列,得.
例5、设数列{}是首项为1的正项数列,且(n=1,2,3…),则它的通项公式是=▁▁▁(2000年高考15题).
解:原递推式可化为:
=0
∵ >,()求数列的通项。
2、已知中,且求数列通项公式。
类型3、 型
解题思路:利用待定系数法,将化为的形式,从而构造新数列是以为首项,以为公比的等比数列.
例6.数列满足,求.
解:设,即对照原递推式,便有
故由得,即,得新数列是以为首项,以2为公比的等比数列。
,即通项
【】”作适当的分离,配凑成等比数列的结构,从而构造出一个新的等比数列。
练习:1、已知满足,求通项公式。
2、已知中,,()求。
分析:构造辅助数列, ,则
[同类变式]
1、已知数列满足,且,求通项
分析:(待定系数),构造数列使其为等比数列,
即,解得
求得
2、已知:,时,,求的通项公式。
解:设
∴ 解得: ∴
∴ 是以3为首项,为公比的等比数列
∴ ∴
3、已知数列满足,求数列的通项公式。
解:两边除以,得
,
则,
故
因此,
则
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出+…+,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
类型4.型
例7 已知数列的前项和满足
写出数列的前3项;
求数列的通项公式.
解:(1)由,得.
由,得,
由,得
(2)当时,有,即 ①
令,则,与①比较得,
是以为首项,以2为公比的等比数列.
,故
引申题目:
1、已知中,,()求
2、在数列{}中,求通项公式。
解:原递推式可化为:
①
比较系数得=-4,①式即是:.
则数列是一个等比数列,其首项,公比是2.
∴
即.
3、已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:两边除以,得,则,
故数列是以为首,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式
4、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式
5、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式
6、已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设 ④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则x=-1,代入④式,
得 ⑤
由≠0及⑤式,得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
类型5、取倒数
例8、已知数列{}中,其中,且当n≥2时,,求通项公式。
解: 将两边取倒数得:,这说明是一个等差数列,首项是,公差为2,所以,即.
例9、数列中,且,,求数列的通项公式.
[提示]
例10、,求
解:即
则
例11、数列中,,,求的通项。
解: ∴
设 ∴ ∴
∴
……
?????
∴ ∴
练习:
1、在数列中,求.
类型6、取对数法
例12 若数列{}中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=▁▁▁(2002年上海高考题).
解 由题意知>0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比数列, ,即.
例13、已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:因为,所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩
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