数列通项公式求法..doc

数列通项公式的求法集锦 累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 在数列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通项公式。 解：∵ 这n-1个等式累加得：= 故 且也满足该式 ∴ (). 例2．在数列{}中，=1， (),求。 解：n=1时, =1以上n-1个等式累加得 ==，故 且也满足该式 ∴ ()。 累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{}中，=1，，求。 解：由已知得 ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故 且=1也适用该式 ∴ (). 例4．已知数列{}满足=，，求。 解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即= 所以，又因为也满足该式，所以。 三、构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 例5、（06福建理22）已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式。 解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列 即= 整理得：=使之满足= ∴p=1 即是首项为=2，q=2的等比数列∴= = 例6、（07全国理21）设数列{}的首项，=，n=2、3、4…… （）求{}的通项公式。 解：构造新数列，使之成为的等比数列 即= 整理得：=满足= 得 = ∴p=-1 即新数列首项为，的 等比数列 ∴= 故 =+1 例7、（07全国理22）已知数列{}中，=2，= （）求{}的通项公式。 解：构造新数列，使之成为的等比数列 = 整理得：=+ 使之满足已知条件 =+2∴解得 ∴是首项为 的等比数列，由此得 = ∴= 例8、已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。 分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。 解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列 即= 整理得：= 满足 = 得 ∴新数列是首项为=，q=2的等比数列 ∴= ∴= 例9、（07天津文20）在数列{}中，=2，= ，求数列的通项。 解：构造新数列，使之成为q=4的等比数列，则= 整理得：=满足=，即得∴新数列的首项为，q=4的等比数列 ∴ ∴ 四、构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。 例10．（07石家庄一模）数列{}满足且。求、、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。 解：由==81 得=33；又∵==33得=13； 又∵==13，∴=5 假设存在一个实数，使此数列为等差数列 即= = = 该数为常数 ∴= 即为首项，d=1的等差数列 ∴=2+=n+1 ∴= 例11、数列{}满足= ()，首项为，求数列{}的通项公式。 解：= 两边同除以得=+1 ∴数列是首项为=1，d=1的等差数列∴=1+ 故= 例12．数列{}中，=5，且 （n=2、3、4……），试求数列{}的通项公式。 解：构造一个新数列，为常数，使之成为等差数列，即 整理得+3(，让该式满足∴取，得，d=1 ，即是首项为，公差d=1的等差数列。 故 ∴= 例13、（07天津理21）在数列{}中，=2，且 （）其中＞0，求数列{}的通项公式。 解：的底数与的系数相同，则两边除以得 即∴是首项为，公差d=1的等差数 列。 ∴ ∴。 取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。 例14、已知数列{}，= ， ，求=？ 解：把原式变形得 两边同除以得 ∴是首项为，d=的等差数列故∴。 例15、（06江西理22）已知数列{}满足，且（）求数列{}的通项公式。 解：把原式变形成 两边同除以得 即 …… ⑴构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列 即整理得： 满足⑴式使 ∴ ∴数列是首项为，q= 的等比数列 ∴ ∴。 例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{}满足：，且 求数列{}的通项公式。 解：把原式变形为 两边同除以得