变截面高速轴的最优化设计.doc

变截面高速轴的最优化设计 1 问题描述 在图3-1所示的变截面轴上，安装有一个质量为Q的轮子。轴的长度为3,各段长度已知，要求解决的问题是确定在满足动力稳定性条件下，轴的质量最小时的直径和。 该问题的分析过程如下： 选择设计变量。此最优化问题有两个设计变量，即要求确定的轴直径和。 建立目标函数。以轴的质量作为目标函数，选用材料的密度为，则目标函数如下： 3.确定约束条件。当轴的旋转速度达到其临界转速时的角速度或横向振动（弯曲振动）的固有频率时，轴便处于共振状态。在大多数情况下，需要进行这种动力稳定性设计的轴，其质量总小于轮子的质量Q，为了简化计算，在确定时时常忽略，而简化为单自由度的振动问题。因此，轴的横向振动的固有频率为： 式中g为重力加速度；u为轴的中间截面处的静挠度。 按照图3-1给出的条件，根据材料力学可求得： 式中E为材料的弹性模量。 为保证轴在工作时的动力稳定性，应使 式中K为大于1的安全系数。 将u的表达式及代入上式，经过整理后得到动力稳定性所要求的等式约束条件为： 另外，根据结构尺寸要求的条件为： 因此，装有一个重轮的变截面高速旋转直轴，当以轴的质量为目标函数时，其最优化设计的数学模型为： 2 实训目的 理解“最优化设计”的概念和方法；了解“最优化设计”的建模方法；了解“最优化设计”问题的解决过程；了解LINGO的编程、方法和求解过程。 3 结果演示 图3-2为此问题的求解结果。 实训步骤 选择材料密度，材料弹性模量，应用LINGO程序对问题进行最优化求解，具体操作过程如下： 运行LINGO程序。LINGO程序主界面如图3-3所示。 2. 点击下拉菜单“File”，选择“New”或者单击工具栏中的按钮，新建一个优化实例模型LINGO Model(*.lg4). 3.在LINGO Model窗口建立模型，输入以下程序语句：（注意：每一句后面要以分号“；”作为语句的结束。冒号“：”和分号“；”要在英文状态下输入。） model: L=0.4; Q=2;!轮子的质量 p=7.8*10^3;!材料密度; Mg=(3.14*L*p/4)*(2*d1^2+d2^2);!轴的质量; min=Mg;!目标函数; !直径约束条件如下; d11=0.01; d12=0.4; d1=d11; d1=d12; !直径约束条件如下; d21=0.01; d22=0.4; d2=d21; d2=d22; E=200*10^9;!料性弹材模量; g=9.8;!重力加速度; w=3000;!轴的转速; k=1.3;!安全系数; (3.14*E*g)/(10.67*Q*l^3*w^2*k^2)-((1/d1^4)+(2.38/d2^4))=0;!约束条件; END 4.模型建立完成后要对模型进行求解：单击下拉菜单“LINGO”选择“Solve”，或者单击工具栏中的模型求解命令按钮。LINGO程序会弹出“LINGO Solve Status”窗口和“Solution Report”窗口。在“LINGO Solve Status”窗口中列出了求解器的有关信息，如图3-4所示，在“Solution Report”窗口中列出了完整的模型求解过程，如图3-2所示。 2——压杆的最优化设计 1 问题描述 图3-5所示的空心压杆两端受轴向外载荷P。轴的内径为，外径为，支承间距尺寸为。试确定压杆的结构尺寸、和，以保证在压杆不产生屈服并且不破坏压杆稳定性条件下，压杆的体积和重量最小。 该问题的分析过程如下： 压杆为细长直杆，承受轴向压力，会因轴向压力达到临界值时突然弯曲而失去稳定性。设计压杆，除应使其压力不超过材料的弹性极限外，还必须使其承受的轴向压力小于压杆的临界载荷。 压杆在机械装置中应用的例子较多，例如在液压机构中当活塞的行程足够大时，会导致活塞杆足够长，这种细长的活塞杆便是压杆。 根据欧拉压杆公式，对与两端均为铰支的压杆，其临界载荷为 式中E为压杆材料的弹性模量；J为压杆横截面的最小惯性矩，EJ为抗弯刚度；L为压杆长度。 将欧拉公式推广到端部不同约束的压杆，则上式变为 式中为长度折算系数，其值将随压杆两端约束形式的不同而异。当两端铰支时取；一端固定，另一端自由时取；一端固定，另一端铰支时取；两端均固定时，取。 由欧拉公式可知，与成正比。合理的设计压杆截面形状，使其材料尽量远离形心分布，就能使J增大而提高压更的抗弯刚度EJ，增大临界载荷。所以在相同截面面积的条件下，管状压杆比实心压杆有更大的临界载荷。 以管状压杆的内径，外径，长度作为设计变量，以其体积或重量作为目标函数，以压杆不