《连续体力学》解答1.doc

1 欧氏矢量空间 正交 变换 张量 (一) 概念、理论和公式提要 1-1 欧氏矢量空间 基和基矢 (1) 欧氏矢量空间 满足下列条件的矢量集合称为实的矢量空间，记作中的每一个矢量，例如的一个元素： (a) (b) ，存在一个反元素，使得 (c) 对于任意实数，有 满足下列条件的实矢量空间称为欧氏矢量空间(Euclidean vector space)，记作： (a) 对，它具有下列性质： (1-1-1) (1-1-2) 等号只当时成立。 (b) 对任意实数等，有 (1-1-3) (c) ，并定义为 （1-1-4） 的正方根。如果为单位矢量。 如果正交。 (2) 基 正交基 (a) 空间内线性无关矢量的最大个数记为。由于连续体占有三维物理空间，所以我们一般地是在三维物理空间内讨论问题。 (6) 在内，定义 (1-1-5) (1-1-6) 式中的方向；通常采用右手螺旋法则确定符合右手法则，且所在平面；所以的矢量，其指向由右手法则确定。称的叉积。由式(1-1-6)可得 (1-1-7) (1-1-8) (c) 当三个相互正交的单位矢形成右手三元系时，有 (1-1-9) 其中左侧三式的角标按顺序1、2、3排列，称为顺循环；右侧三式的角标为逆1、2、3顺序排列，称为逆顺环。 (d) ，构成一个基(或基矢系)，记作都可表示成的唯一的线性组合 (1-1-10) 内可以选取无限多个基，各个基之间有一定的变换关系，因此只有一个基是独立的。 (e) 在应用中，选用的基总是同选定的坐标系相关连的，不同的坐标系有不同的基。在中，最简单的基是与笛卡尔坐标系相关连的，它由三个相互正交的单位基矢构成，而且是固定不变的。今后我们用表示笛卡尔坐标系的基。 1-2 字母指标法 (1) 在力学中有很多量要用一组标量才能描述，这组量中的每一个称为该力学量的分量。这些分量都与所选用的空间的基密切相关，亦即与所选用的坐标系密切相关。在张量表述中，将力学量的所有分量用同一个符号或字母表示，而用指标区分各个分量。例如，在内点的坐标用表示，简记为等，此处是用字母表示的指标，称为字母指标；这种表示力学量的方法称为字母指标法。 (2) 哑指标 求和约定 同项中重复出现二次的字母指标称为哑指标，它表示将该指标依次取值1、2、3(设在内)时所得各项之和，而省去求和记号这就是求和约定。哑指标简称为哑标，又可称为求和指标或伪标；哑标可任意改变字母，例如可以写作等。 (3) 自由指标 同项中只出现一次的指标称为自由指标。自由指标表示一般的项，该指标可取1、2、3中的任何一个。同一方程中各项的自由指标必须相同。 1-3 Kronecker????置换符号 (1) Kronecker????符号表示九个数，并且规定 (1-3-1) 如上规定的称为Kronecker??。同另一带字母指标的量(包括自身)相乘，且有哑标时，则将中的自由指标代换被乘量中的哑标。例如 (1-3-2) (1-3-3) (1-3-4) 点的坐标彼此独立，所以有 (1-3-5) 为9个量，则有 (1-3-6) 当时，上式变为 (1-3-7) 对于笛卡尔坐标系的基，按式(1-1-5)，有 (1-3-8) 上式也可作为的定义。 (2) 置换符号 置换(或排列)符号用表示，它共有27个量，并规定 (1-3-9) 在指标中，每相邻2个互换一次位置，改变一次正负号。由于相邻指标互换偶次位置不改变指标的循环性质，所以不改变的值；反之，相邻指标互换奇次位置，将改变正负号。例如