2017年考研数学一真题及答案解析.doc

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2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析 跨考教育 数学教研室 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.在处连续,则( ) 【答案】A 【解析】在处连续选A. (2)设函数可导,且,则( ) 【答案】C 【解析】或,只有C选项满足且满足,所以选C。 (3)函数在点处沿向量的方向导数为( ) 【答案】D 【解析】 选D. (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线(单位:),虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则( ) 【答案】B 【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲,则 ,当时满足,故选C. (5)设是维单位列向量,为阶单位矩阵,则( ) 【答案】A 【解析】选项A,由得有非零解,故。即不可逆。选项B,由得的特征值为n-1个0,1.故的特征值为n-1个1,2.故可逆。其它选项类似理解。 (6)设矩阵,则( ) 【答案】B 【解析】由可知A的特征值为2,2,1 因为,A可相似对角化,且 由可知B特征值为2,2,1. 因为,B不可相似对角化 ∴,且B不相似于C (7)设为随机概率,若,则的充分必要条件是( ) 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题意。 (8)设为来自总体的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是( ) 【答案】B 【解析】 由于找不正确的结论,故B符合题意。 二、填空题:9(14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 已知函数,则=__________ 【答案】 【解析】 (10) 微分方程的通解为_________ 【答案】,(为任意常数) 【解析】齐次特征方程为 故通解为 (11) 若曲线积分在区域内与路径无关,则 __________ 【答案】 【解析】由积分与路径无关知 (12) 幂级数在区间内的和函数________ 【答案】 【解析】 (13)设矩阵,为线性无关的3维列向量组,则向量组的秩为_________     【答案】2 【解析】由线性无关,可知矩阵可逆,故 再由得 (14)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则_________ 【答案】2 【解析】,故 。令,则= 因此. 三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.具有2阶连续偏导数,,求, 【答案】 【解析】 结论: (16)(本题满分10分)求 【答案】 【解析】 (17)(本题满分10分) 已知函数由方程确定,求的极值 【答案】极大值为,极小值为 【解析】 两边求导得: (1) 令得 对(1)式两边关于x求导得 (2) 将代入原题给的等式中,得, 将代入(2)得 将代入(2)得 故为极大值点,;为极小值点, (18)(本题满分10分) 设函数在区间上具有2阶导数,且,证明: 方程在区间内至少存在一个实根; 方程在区间内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 (I)二阶导数, 解:1)由于,根据极限的保号性得 有,即 进而 又由于二阶可导,所以在上必连续 那么在上连续,由根据零点定理得: 至少存在一点,使,即得证 ,,令,则 由罗尔定理,则, 对在分别使用罗尔定理: 且,使得,即 在至少有两个不同实根。 得证。 (19)(本题满分10分) 设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分,其上任一点的密度为 。记圆锥面与柱面的交线为 求在平面上的投影曲线的方程; 求的质量。 【答案】64 【解析】 由题设条件知,的方程为 则在平面的方程为 (2) (20)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。 证明 ; 若,求方程组的通解。 【答案】(I)略;(II)通解为 【解析】 (I)证明:由可得,即线性相关, 因此,,即A的特征值必有0。 又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0. 且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为 (II)由(1),知,即的基础解系只有1个解向量, 由可得,则的基础解系为, 又,即,则的一个特解为, 综上,的通解为 11分)设二次型 在正交变换下的标准型,求的值及一个正交矩阵 【答案】 【解析】 ,其中 由于经正交变换后,得到的标准形为, 故, 将代入,满足,因此符合题意,此时,则 , 由,可得A的属于特征值-3的特征向量为; 由,可得A

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