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2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析
跨考教育 数学教研室
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.在处连续,则( )
【答案】A
【解析】在处连续选A.
(2)设函数可导,且,则( )
【答案】C
【解析】或,只有C选项满足且满足,所以选C。
(3)函数在点处沿向量的方向导数为( )
【答案】D
【解析】
选D.
(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线(单位:),虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则( )
【答案】B
【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲,则
,当时满足,故选C.
(5)设是维单位列向量,为阶单位矩阵,则( )
【答案】A
【解析】选项A,由得有非零解,故。即不可逆。选项B,由得的特征值为n-1个0,1.故的特征值为n-1个1,2.故可逆。其它选项类似理解。
(6)设矩阵,则( )
【答案】B
【解析】由可知A的特征值为2,2,1
因为,A可相似对角化,且
由可知B特征值为2,2,1.
因为,B不可相似对角化
∴,且B不相似于C
(7)设为随机概率,若,则的充分必要条件是( )
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题意。
(8)设为来自总体的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是( )
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论,故B符合题意。
二、填空题:9(14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 已知函数,则=__________
【答案】
【解析】
(10) 微分方程的通解为_________
【答案】,(为任意常数)
【解析】齐次特征方程为
故通解为
(11) 若曲线积分在区域内与路径无关,则
__________
【答案】
【解析】由积分与路径无关知
(12) 幂级数在区间内的和函数________
【答案】
【解析】
(13)设矩阵,为线性无关的3维列向量组,则向量组的秩为_________
【答案】2
【解析】由线性无关,可知矩阵可逆,故
再由得
(14)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则_________
【答案】2
【解析】,故
。令,则=
因此.
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.具有2阶连续偏导数,,求,
【答案】
【解析】
结论:
(16)(本题满分10分)求
【答案】
【解析】
(17)(本题满分10分)
已知函数由方程确定,求的极值
【答案】极大值为,极小值为
【解析】
两边求导得:
(1)
令得
对(1)式两边关于x求导得 (2)
将代入原题给的等式中,得,
将代入(2)得
将代入(2)得
故为极大值点,;为极小值点,
(18)(本题满分10分)
设函数在区间上具有2阶导数,且,证明:
方程在区间内至少存在一个实根;
方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
(I)二阶导数,
解:1)由于,根据极限的保号性得
有,即
进而
又由于二阶可导,所以在上必连续
那么在上连续,由根据零点定理得:
至少存在一点,使,即得证
,,令,则
由罗尔定理,则,
对在分别使用罗尔定理:
且,使得,即
在至少有两个不同实根。
得证。
(19)(本题满分10分)
设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分,其上任一点的密度为
。记圆锥面与柱面的交线为
求在平面上的投影曲线的方程;
求的质量。
【答案】64
【解析】
由题设条件知,的方程为
则在平面的方程为
(2)
(20)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。
证明 ;
若,求方程组的通解。
【答案】(I)略;(II)通解为
【解析】
(I)证明:由可得,即线性相关,
因此,,即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.
且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为
(II)由(1),知,即的基础解系只有1个解向量,
由可得,则的基础解系为,
又,即,则的一个特解为,
综上,的通解为
11分)设二次型
在正交变换下的标准型,求的值及一个正交矩阵
【答案】
【解析】
,其中
由于经正交变换后,得到的标准形为,
故,
将代入,满足,因此符合题意,此时,则
,
由,可得A的属于特征值-3的特征向量为;
由,可得A
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