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RSA算法原理（一） 作者： 阮一峰 日期： 2013年6月27日 如果你问我，哪一种算法最重要？ 我可能会回答公钥加密算法。 因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。 进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是公钥加密算法。 一、一点历史 1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式： 　　（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密； 　　（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。 由于加密和解密使用同样规则（简称密钥），这被称为对称加密算法（Symmetric-key algorithm）。 这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。 1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为Diffie-Hellman密钥交换算法。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。 这种新的加密模式被称为非对称加密算法。 　　（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。 　　（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。 　　（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。 如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。 1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的非对称加密算法。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。 这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。 下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。 二、互质关系 如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。 关于互质关系，不难得到以下结论： 　　1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。 　　2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。 　　3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。 　　4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。 　　5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。 　　6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。 三、欧拉函数 请思考以下问题： 　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？） 计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。 φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。 第一种情况 如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。 第二种情况 如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。 第三种情况 如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则 比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。 这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。 上面的式子还可以写成下面的形式： 可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。 第四种情况 如果n可以分解成两个互质的整数之积， 　　n = p1 × p2 则 　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2) 即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。 这一条的证明要用到中国剩余定理，这里就不展