矩阵分解与广义逆.ppt

矩阵的三角分解 矩阵的广义逆与最小二乘解 最小二乘解 定义 推论：设 ，则 可分解为 其中 ， 是 阶正线上三角矩阵， 是 阶正线下三角矩阵。 矩阵的奇异值分解 引理 1 ：对于任何一个矩阵 都有 引理 2 ：对于任何一个矩阵 都有 与 都是半正定的Hermite-矩阵。 设 ， 是 的特征值， 是 的特征值，它们都是实数。如果记 特征值 与 之间有如下关系。 定理：设 ，那么 。同时，我们称 为矩阵 的正奇异值，简称奇异值。 例 ：求下列矩阵的奇异值 解： （1）由于 显然 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为 （2）由于 显然 的特征值为 2，4，所以 的奇异值为 。 例 2 证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。 定理：设 ， 是 的 个奇异值，那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得 其中， 且满足 。 证明： 由于 ，所以 的特征值为 因为 是一个H-阵，所以存在 阶酉矩阵 且满足 将酉矩阵 按列进行分块，记 ，其中 于是有 从而有 记 ，这里 令 ，那么容易验证 选取 使得 是酉矩阵，则 由上述式子可得 这里，要注意 。 我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式 为矩阵 的奇异值分解式。 如何求此分解表达式？特别要注意下面的关系式 即 由此可知 的列向量就是 的标准正交特征向量；而 的列向量就是 的标准正交特征向量。 例 ：求下列矩阵的奇异值分解表达式 解 ： （1）容易计算 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为 。下面计算 的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量 由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ，所以有 再计算 的标准正交特征向量，解得分别与5，0对应的两个标准正交特征向量 * * 　　　 三、 矩阵的QR分解 二、 矩阵的满秩分解 一、 矩阵的三角分解 矩阵分解与广义逆 四、 矩阵的奇异值分解 五、 矩阵的广义逆与最小二乘法 定义:若方阵A可分解为 其中,L为单位下三角矩阵,R为上三角矩阵,则称A可三角(LU)分解. 定理: n阶方阵有唯一的三角分解当且仅当A的前n-1个顺序主子式不等于零 例子 矩阵的满秩分解 定理：设 ，那么存在 使得 其中 为列满秩矩阵， 为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。 解 ：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到 由此可知 ，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取 同样，我们也可以选取 解：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到 所以 ，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。 选取 也可以选取 解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到 所以 ，且容易看