《必修①3.2-3.2.1.ppt

3．2　函数模型及其应用 3．2.1　几类不同增长的函数模型 【课标要求】 1．掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义． 2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题． 【核心扫描】 1．利用函数模型解决实际问题．(重点) 2．三种函数模型性质的比较． 3．在实际应用中选择哪种函数模型．(难点、易混点) 新知导学 1．三种函数模型的性质 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上． (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会 ． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有 . 温馨提示：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”． 互动探究 探究点1 函数y＝x2与y＝2x在(4，＋∞)上哪一个增长得更快些？ 提示　y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度． 探究点2 在区间(0，＋∞)上，当a＞1，n＞0时，是否总有logax＜xn＜ax成立？ 提示　不是，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，logax＜xn＜ax成立． 探究点3 当实际问题提供的两个变量的数量关系有怎样的增长规律时，我们选择一次函数模型，对数函数模型，指数函数模型？ 提示　均匀增长，增量恒定时，一般选择一次函数模型，缓慢增长，增量逐渐变小时，一般选择对数函数模型；急剧增长，增量快速增大时，选择指数函数模型. 类型一　直线型与指数型函数的应用 【例1】 甲、乙两城市现有人口总数为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题： (1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)； (3)对两城市人口增长情况作出分析． 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. [思路探索]　分别根据增长率和增长量，建立函数模型，进行数据运算，作出分析判断． 解　(1)1年后甲城市人口总数为： y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后甲城市人口总数为： y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)3； …… x年后甲城市人口总数y甲＝100×(1＋1.2%)x，乙城市人口总数y乙＝100＋1.3x. (2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表： [规律方法]　1.本题涉及到平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型． 【活学活用1】 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少 于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服 药一次治疗疾病的有效时间． [规律方法]　解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解． 【活学活用2】 溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH. 解　(1)根据对数的运算性质， 有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1. 在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，[H＋]－1减小， 从而lg [H＋]－1减小，即pH减小． 所以，随着[H＋]的增大，pH减小． (2)当[H＋]＝10－7时， pH＝－lg [H＋]＝－lg10－7＝7， 所以纯净水的pH是7，酸碱度为中性． 类型三　几