简明微积分教学课件作者第三版李亚杰课件教案-0603二阶常系数线性微分方程课件.PPT

分三种情形讨论此式： (1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+1)个方程，由此定出(m+1)个未知系数 ，从而得到方程(4)的特解 . (2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解 . (3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即 .设方程(4)的一个特解为 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 ,得到方程(4)的特解 . 小结： 对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4) 设方程(4)的特解为 Qm是与Pm同次的多项式，即 k的取法为 (1)当 不是对应齐次方程的特征根时，取k=0, (3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2. (2)当 是对应齐次方程的单特征根时，取k=1, 例2 求微分方程 解 * * 第三节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为 称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程. / 形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程 为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程 一、二阶线性微分方程解的结构 定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数. (一)二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 证 / 为二阶常系数线性非齐次微分方程. 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？ 例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程 容易验证： 都是它的解. 由定理11.1 知 也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解. 问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时， 才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解 就必定是方程(3)的通解. 定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有 成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关. 定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则 就是方程(3)的通解. 例2 所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程 解 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式 它所对应的齐次方程为 (二) 二阶常系数线性非齐次微分 方程解的性质与通解结构 定理 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解，