电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英13.7课件.PPTVIP

将函数 将 计算 说明: 在展开式 利用 计算积分 电类高等数学 高等教育出版社 * 第七节 间接法将函数展开成幂级数 二、幂级数的应用 一、间接法将函数展开成幂级数 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例13.7.1 解: 因为 把 x 换成 , 得 将所给函数展开成幂级数. 一、间接法将函数展开成幂级数 展开成 x 的幂级数. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 例13.7.2 已知 展成 x－1 的幂级数. 解: 例13.7.3 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 例13.7.4 二、幂级数的应用(数值计算) 在上述展开式中取前四项, 中,令 得 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 ( n为自然数) , 解: 先把角度化为弧度 (弧度) 求 的近似值 , 例13.7.5 ( 取 解: 例13.7.6 的近似值, 精确到 则 n 应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差 小 结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 幂级数的应用 (1) 函数值的计算 (2) 表达非初等函数,计算极限、微积分以及微分方程. 思考题 13.7 1．间接法将函数展开成幂级数有哪些优点？ 答:间接法将函数展开成幂级数使计算较简单，而且可以避免研究余项的极限值． 2．函数的幂级数展开可应用在哪些方面？ 答:应用函数的幂级数展开可解决函数的多项式逼近和函数值的近似计算问题，还可解决一些非初等函数积分问题以及微分方程求解问题． * *