电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英11.6课件.PPTVIP

电类高等数学 高等教育出版社 * 第六节 多元函数的极值 一、多元函数极值的概念 二、函数极值的求法 三、条件极值 一、 多元函数极值的概念 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. (1)如果 , 若函数 在点 的某邻域内有 定义, 对于该点附近任一个异于点 的点 则在点 处 有极大值; (2)如果 , 则在点 处 有极小值. 定义11.6 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 例11.6.1 x y z 1 1 O 例11.6.2 函数 2 2 1 y x z - - = 在点 ) 0 , 0 ( 处取得极大值 = 1 ) 0 , 0 ( f 因为在点 ) 0 , 0 ( 附近任意 ) , ( y x ，有 ) , ( y x f = - - = 1 1 2 2 y x ) 0 , 0 ( f 其函数图形为上半球面, 显然 ) 1 , 0 , 0 ( - 点高于周围点． 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理11.6(极值存在的必要条件) 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 函数 存在偏导数, 二、函数极值的求法 例11.6.3 函数 2 2 y x z - = 有偏导数 函数 2 2 y x z - = 的图形是双曲抛物面 (如下图) 两者在 点均为零， 而在 点的任意一个邻域内函数既 可取正值，也可取负值， 所以点 不是极值点. 是此函数的驻 点． 所以点 因为 即 = ) , ( 0 0 y x f x ) , ( 0 0 y x f y 0 = 定理11.7 (极值存在的充分条件) 若记 设二元函数 ) , ( y x f z = 在点 0 P ) , ( 0 0 y x 的某个邻域内具有二阶连续偏导数， 的某个邻域内 P 0 ) , ( 0 0 y x 是函数的驻点， 且点 (1)当 时， 0 2 - AC B 点 是极值点， 0 P ) , ( 0 0 y x 若 ( 0 A 或 , ) 0 C (2)当 时, 0 2 - AC B (3)当 时, 0 2 = - AC B ( 0 A 或 , ) 0 C 且若 则 点 为极大值点， 0 P ) , ( 0 0 y x 点 为极小值点， 0 P ) , ( 0 0 y x 点 非极值点; 0 P ) , ( 0 0 y x 也可能不是极值点． 点 可能是极值点, 0 P ) , ( 0 0 y x 例11.6.4 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 求二阶偏导数 求函数 的极值. 在点(?3,0) 处 在点(?3,2) 处 为极大值. 不是极值; 在点(1,2) 处 不是极值; 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条件极值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 故 故有 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 例11.6.5 则问题为求x , y ,z 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. 使在条件 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 要设计一个容量为 的长方体开口水箱, 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1)