电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英7.1课件.PPTVIP

解 依定积分的定义及极限运算法则，有 电类高等数学 高等教育出版社 * 难点：定积分的换元积分法与分部积分法。 第七章 定积分 教学要求 1、理解定积分概念和定积分的性质。 2、知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。 3、掌握牛顿-莱布尼兹公式，熟练地用它计算定积分。 4、掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 重点：定积分的概念及几何意义，牛顿–莱布尼茨公式; 第一节 定积分的概念 第二节 定积分的性质 第三节 微积分基本公式 第四节 定积分的换元积分法 第五节 定积分的分部积分公式 第六节 无穷区间上的反常积分 一、两个实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 第一节 定积分的概念 引例7.1 曲边梯形的面积 一、两个实例 a b x y o 设 是定义在 上的非负连续函数（如图）， 由曲线 与直线 围成的图形称为 曲边梯形． （1）分割 区间任意分成 将 个小区间，其分点是 每个小区间可表示为 即 （2）近似 在每个小区间 上任取一点 并以不变的 代替 上各点的函数值,那么以小区间长度 为高的小矩形面积就是 ，设小 从数值上看，这样的近似乃是“以常代变”，而从上面 的“以直代曲”． 轴的直线段代替曲线段 上以 平行于 图像上看，这是在小区间 为底， ，则 曲边梯形面积为 （3）求和 曲边梯形面积的近似值，即 （4）取极限 求曲边梯形的面积，记 当 时，就有 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小 曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是 从几何直观可以看出，随着分割的越来越细，且 每个小区间的长度都趋近于零时，和式的极限就是所 引例7.2 变速直线运动的路程 设一物体沿直线运动，它的速度是 时间 t 的函数 求物体从时刻 t = a 到 t = b 这段时间所经过的路程 s ． 于是，可仿照引例1进行如下讨论： 由于速度 随时间而变，所以不能简单地套用匀速 运动计算路程的公式 .可以想象，在一段有限的时 内速度 虽可能有较大的起落，但在很短的一瞬 间 间，速度是来不及有很大变化的，这就是说， 在每一 短暂的瞬间可近似地把物体运动作为匀速运动来处理． （1）分割 ，即 将时间区间 任意分成 个小区间，其分点是 每个小区间可表示为 （2）近似 设物体在此时段内行经的路程为 在每个小区间 上任取一个时刻 并把物体在时段 内的运动当作以 为速度的匀速直线运动处理， 则 而从运动学的角度看，这是“匀代不匀”，即 其中 这里的近似，从数量上 将非匀速直线运动近似地作匀速直线运动处理． （3）求和 因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上 内物 作匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间 体运动的路程 就可以用这一物体分别在 个小区间上 个匀速直线运动的路程的和近似代替．即 作 上以常量 代替变量 看是“以常代变”，即在 （4）取极限 容易看出，当所分时间区间愈短，即 变小时， 和式 的极限就是所求的物体在时间区间 上所经过的路程 记 当 时，就有 程为背景，建立起定积分的概念． 上面两个案例，虽然实际意义不同，但是解决 问题的方法和计算步骤是相同的，最后都归结为 求一个连续函数在某一闭区间上的和式的极限问 题．在实践中还有众多的量需要依照类似的途径 去理解与计算．故而需要以解决这两个问题的过 二 定积分概念 定义7.1 设函数 在区间 上有定义，在 之间任意地插入 个分点 将 分成 个小区间 ，作和式 上任取一点 记 ， ，并在每个小区间 当 时，若此和式的极限存在，且极限值既同 区间 的分割方法无关，也与点 的取法无关， 就称函数 在区间 上是可积的，并称此极限值 上的定积分，记作 为 在 积分变量 被积函数 被积表达式 积分上限 积分下限 积分和 从定积分的定义容易看出，定积分 的值与积分变量的符号是无关的，即有 根据定积分的定义，前面两个案例可以记为 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 面积的相反数，即带上个负号． 今后，在被积函数 时，常将定积分 看作是由 所围成的曲边梯形 的面积，而在 时将 看作曲边梯形的 所围成的曲边梯形面积的代数和． 所以定积分的几何意义是： ， ， ， 三、定积分的几何意义 事实上，从几何意义也可以看出 是 围成矩形的面积 ．当然在 时，面积应为 ，再带上个负号才成为定积分， 故仍为． (其中C为常数) 例7.1.1 计算定积分 理解并掌握定积分的概念 理解并掌握定积分的几何意义 小结7.1 1．定积分与不定积分之间有什么区别？ 2．定积分的值与哪些量有关？与哪些量无关？ 3．如何表述定积分的几何意义？ 答：不定积分讨论的是函数的原函数，而