电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英6.2课件.PPT

电类高等数学 高等教育出版社 * 第二节 不定积分的基本积分公式 一、不定积分基本公式 二、不定积分的凑微分法 一、不定积分基本公式 引例1 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么，从每个导数公式就可得到相应的积分公式． 例如，由于 ， 所以在 时 就是 的一个原函数，于是 有积 分公式 又如，由 得积分公式 不定积分基本积分公式 (1) （k为常数） (2) (4) ( ) (5) (6) (7) (8) (9) (12) (11) (13) (10) 以上运算性质和基本积分公式是计算不定积分的基础，利用它们可以直接计算一些简单函数的不定积分． 解 这里并不需要在每一项后面各加上一个积分常数．因为有限个任意常数之和C仍为任意常数，所以这里只把它们的和写在末尾。 例1 应当注意，检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了．如上例，由于 解 先利用三角恒等式进行变形，然后再求积分． 例2 求 解 例3 求 解: 练习题： （2） （1） [引例] 求 解法一 解法二 二、不定积分的凑微分法 由此可见，要计算不定积分 ，我们 可以将 展开后再算下去，也可以先凑微分， 当．若要计算 方法一就显得十分繁琐， 而方法二则很简捷．因此，探讨此类问题的解法 再利用基本积分公式求得，两者繁简程度基本相 是有益的． 基本积分公式求解． 得 解法二的特点是引入新变量 从而把原积分化为积分变量为 的积分，再利用 它就是利用 现在进一步问，如果更一般地，若 是否成立？回答是肯定的．事实上，由 得 成立，那么当 是 的任一可导函数 时，式子 根据上一章的微分形式不变性可知，当 从而根据不定积分定义，有 这个结论表明：在基本积分公式中，自变量换成任一可导函数时，公式仍成立，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围． 可导时，有 这种积分方法称为第一换元积分法． (或可以化为这种形式)，且 在某区间上 可导， 具有原函数 ，则可以在 的被积函数中 将凑成微分 然后对新变量 求不定积分，就得到 下面的换元公式： 一般地，如果被积函数的形式是 解 向哪个积分公凑 ？ 解 解 解 三个积分公式 解 解