电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英3.7课件.PPTVIP

1.连续函数的和、差、积、商的连续性 推论 例3.7.5 小 结 电类高等数学 高等教育出版社 * 一、初等函数的连续性 第七节 闭区间上连续函数的性质 二、闭区间上连续函数的性质 在其定义域内连续 例如, 一、初等函数的连续性 定理3.10 如果函数 和 在点 处连续,则它们的和, 差 ,积 ,商(分母不为0)在点 也连续. 2.复合函数的连续性 电类高等数学 高等教育出版社 定理3.11 即 且 函数 在点 处连续, 在点 处也连续, 那么复合函数 设函数 注: 1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层. 2.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续. 例3.7.1 求 解:原式 同理可得 例3.7.2 求 解:令 则 当 时 原式 电类高等数学 高等教育出版社 3.初等函数的连续性 定理3.12 例3.7.3 求 解 是初等函数 x y sin ln = 它的一个定义区间是 一切初等函数在其定义区间(包含在 定义域的区间)内都是连续的. 例3.7.4 求 解 原式 例3.7.5 求 解 原式 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理3.13(最值定理) 即: 设 则 使 或在闭区间内有间断 (证明略) 点 , 二、闭区间上连续函数的性质 电类高等数学 高等教育出版社 若函数 在闭区间 上连续 则 在闭区间 上至少存在一个最大值和一个最 小值 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 电类高等数学 高等教育出版社 电类高等数学 高等教育出版社 若函数 在闭区间 上连续, 则 在闭区间 上有界. 定理3.14(介值定理) 且 使得 则至少存在一点 若函数 在闭区间 上连续, 为介于 与 之间的任一值， 电类高等数学 高等教育出版社 则至少存在一点 使 推论( 根的存在定理 ) 且 若函数 在闭区间 上连续, （两端点的函数值异号）， 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有一个根. 证明方程 说明: 取 的中点 可用此法求近似根. 二分法 内必有方程的根 ; 则 内必有方程的根 ; 则 电类高等数学 高等教育出版社 电类高等数学 高等教育出版社 1.基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 2.有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意　1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. * *