电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英3.6课件.PPTVIP

自变量的增量 例3.6.3 二、 函数的间断点 2.间断点分类 例3.6.4 小 结 电类高等数学 高等教育出版社 * 一、函数的连续 第六节 函数的连续性 二、函数的间断点 电类高等数学 高等教育出版社 一、函数的连续 1.函数的增量（改变量） 函数的增量 则称函数 定义3.7 在 的某一个某邻域内有定义 , 设函数 如果当自变量的增量 趋向于零时, 增量 也趋于零,即 电类高等数学 高等教育出版社 2.函数在一点处的连续性 对应的函数 电类高等数学 高等教育出版社 定义3.8 则称函数 如果 当 时的极限存在, 内有定义, 的某一个邻域 设函数 在点 (3) 可见 , 函数 在点 连续必须具备下列条件: (2) 极限 存在 ; (1) 在点 即 有定义 , 存在 ; 在 点处的函数值,即 且等于它 例3.6.1 证 由定义3.8知 试证函数 在 处连续 函数 在 处连续 , 又 3.左连续与右连续 , 0 x ) ( f ( f 0 x ) 0 ( ) f ; ), ( 0 处左连续 在点 则称 且 内有定义 在 若函数 x x f x a x = - , 0 ] ( ) x f . ) ( 0 ), ( ) ( ) [ 0 ( 0 0 0 处右连续 在点 则称 且 内有定义 在 若函数 x x f x f x f b x = + , , 结论: 函数 在点 处连续的充要条件是它在 点左连续且右连续. 解 右连续但不左连续 , 例3.6.2 故函数 在 处不连续 讨论函数 在 处的连续性 4. 函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. , , , , . ] a , [ ) ( ) ( 上连续 在闭区间 函数 则称 处左连续 在右端点 处右连续 并且在左端点 内连续 如果函数在开区间 b x f b x a x b a = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理整函数在区间 内是连续的 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 电类高等数学 高等教育出版社 在 内连续 . 证明函数 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一函数 f (x) 在点 在 (2) 函数 不存在; 虽有定义 , 但 在 (3) 函数 存在 , 但 虽有定义 , 且 这样的点 称为间断点 . (1) 函数 在 无定义 ; 电类高等数学 高等教育出版社 1.函数的间断点 第一类间断点: 及 均存在 , 若 若 第二类间断点: 称 为可去间断点 . 称 为跳跃间断点 . 电类高等数学 高等教育出版社 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为 为无穷间断点 . 若其中有一个为振荡 , 称 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 电类高等数学 高等教育出版社 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 电类高等数学 高等教育出版社 左连续 右连续 第一类间断点 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在 可去间断点 跳跃间断点 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 电类高等数学 高等教育出版社