电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英3.2课件.PPT

注意： 三、无穷小与无穷大的关系 小 结 电类高等数学 高等教育出版社 * 一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷大量与无穷小量之间的关系 第二节 无穷小量与无穷大量 引例 单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋于零．电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋于零． 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义. 一、无穷小量 1.无穷小量的定义 例如 定义3.5 函数 当 时为无穷小; 当 函数 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 极限为零的变量称为无穷小.简称无穷小. 注意: 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程； 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小量的运算性质 定理3.4 注意： 例如: 时, 时为无穷小; 但 个 之和为1不是无穷小 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3.5 推论1 推论2 例如: 时, 为无穷小; 为无穷小. 时, 定理3.6 在自变量的同一变化过程中， （1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和； （2）如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数 就是函数的极限值． 无穷小量与有界量的积是无穷小. 常数与无穷小的积是无穷小. 有限个无穷小的积仍是无穷小. 例如: 是当 时的无穷大. 是当 时的无穷大. 定义3.6 如果当 （或 ）时，函数 无限增大，则称 当 ）时的无穷 （或 大量，简称无穷大，记作 二、无穷大量 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! (1)如果函数 为无穷大, 为无穷小 ; 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 说明: 定理3.7 在自变量的同一变化过程( 或 )中, (2)如果函数 为无穷小,且 为无穷大 则 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 思考题 3.2 是无穷小?还是无穷大? 答:当 时， 是无穷小 当 时， 是无穷大 * *