电类高等数学电子教案教学课件作者王仲英3.1课件.PPT

例3.1.1 例3.1.4 例3.1.5 例3.1.6 小 结 电类高等数学 高等教育出版社 * 第三章 极限与连续 教学要求 5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类． 1．了解极限的描述性定义． 2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质． 3．会用两个重要极限公式求极限． 4．掌握极限的四则运算法则． 教学要求(续) 难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性． 6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）． 7．会用函数的连续性求极限． 重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念． 第一节 极限的概念 第三节 极限的四则运算法则 第二节 无穷小量与无穷大量 第四节 两个重要极限 第五节 无穷小比较 第七节 闭区间上连续函数的性质 第六节 函数的连续性 一、函数的极限 二、左极限与右极限 三、极限的性质 第一节 极限的概念 引例 设有半径为 r 的圆 ,求圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 解析: 自变量为正整数的函数 是函数的一种特殊形式． 一、函数的极限 1.数列的概念 当 取正整数而无限增大，记作 简记为 ， 其中， 为数列 的通项或一般项． 例如: 这一列数称为数列， 2.数列的极限 播放 当 时的变化趋势 观察数列 观察数列 当 时的变化趋势 对于数列 ， 通项 无限趋近于某个确定的常数 ， 或 并称数列 是收敛的．如果数列 没有极限，则称该数列发散． 发 散 收 敛 定义3.1 如果当 无限增大时， 为数列 的极限，记作 则称 单调递减数列: 单调递增数列: 例如: 例如: 定理3.1（单调有界原理） 有界数列: 单调有界数列必有极限． 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况： 3.函数的极限 即 时，函数 的极限 a.当自变量 的绝对值无限增大时， 的变化趋势 b.当自变量 无限地接近于 时， 的变化趋势 即 时，函数 的极限 如果当自变量 的绝对值无限增大时，函数 无限趋近于某个确定的常数 ， 定义3.2 设函数 在 时有定义． 或 例3.1.2 的变化趋势． 考察当 时，函数 解 不存在． 则称常数 是函数 当 时的极限，记作 a. 时，函数 的极限 的充要条件是 例3.1.3 求 和 ． 解 作出 和 的图形,可知， 定理3.2 的函数值的变化趋势. 考察当 时，函数 和 当 时， 的值均无限接近于2． 和 注意：函数的极限是否存在与其在该点处是否有定义无关． b. 时，函数 的极限 [引例] 定义3.3 函数 无限趋近于某个确定的常数 , 如果 以任意方向无限趋向于 时, 或 如在上述案例中: 称为函数 当 时的极限，记作 那么 设函数 在点 的某一个去心邻域 内有定义． 如图所示的函数 的解析表达式为 问函数 在 处的极限是多少？ 有时只需要考虑自变量从定点的 某一侧趋近于此定点的函数极限 问题． 二、左极限与右极限 [引例] 定义3.4 或右侧邻域 有定义， 设函数 在点 的某一个左侧邻域 左极限记作 右极限记作 或 或 定理3.3 常数 ， （或 ）时函数值 无限趋近于某个确定的 如果 那么 称为函数 当 时的左（或右） 极限． 的充要条件是 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 显然 所以 不存在 . 电类高等数学 高等教育出版社 设函数 利用定理 3.3,因为 解: 所以 所以 电类高等数学 高等教育出版社 在一个电路中的电荷量 由下式定义 其中 ， 为正的常数， 求电荷量 在时间 时的极限. 因为 三、极限的性质 若 存在，则极限值唯一． 性质2（有界性） 去心邻域内函数 有界． 若 存在，则在点 的某一 若 且 （或 ）， 则必存在 的某一去心邻域，