第六章第5讲　数列的综合应用.ppt

[方法总结] 数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法等．要提高将陌生问题转化、化归为熟知问题的能力． (1)求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和的Tn； (2)若对任意的n∈N*，不等式λTnn＋8·(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围； (3)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． 从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 热点突破18　数列与解析几何、三角交汇问题的求解策略 一、数列与解析几何的交汇 【示例】 (2011·陕西卷 )如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2. 再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)． (1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)； (2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|. 　[审题与转化] 第一步：求点Qk－1的坐标及过点Qk－1的切线方程． 　第二步：令切线方程y＝0得出xk与xk－1的递推关系． 　[规范解答] 第三步：(1)切点Qk－1(xk－1，exk－1)，切线方程为：y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，令y＝0得：xk＝xk－1－1(2≤k≤n)． 　[反思与回顾] 第四步：解决此类题目仅靠单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用． 二、数列与三角的交汇 【示例】 (2011·安徽卷)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tan an·tan an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn. 　[规范解答] 第二步：(1)T＝(t1·tn＋2)·(t2·tn＋1)·…·(tn＋2·t1)＝102(n＋2)，∴an＝lg Tn＝n＋2(n≥1)； (2)由题意和(1)中计算结果，知 bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1. 　[反思与回顾] 第三步：本题难度较大，考生很难想到求T及两角和正切公式的应用，但细心品味一下本题还是不错的，命题人真费了不少工夫． 1．(2011·陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)． 高考经典题组训练 解析　将20位同学视为数轴上0、10、20、…、190的20个点，则路程总和为y＝2(|x|＋|x－10|＋…＋|x－190|)，由绝对值的几何意义知，当有奇数个点时，位于中间位置的中点到各点的距离和最小；当有偶数个点时，中间两点之间的点到各点的距离之和最小，所以当90≤x≤100时，ymin＝2[x＋(x－10)＋…＋(x－90)＋(100－x)＋(110－x)＋…＋(190－x)]＝2(100＋110－10＋…＋190－90)＝2×10×100＝2 000. 答案　2 000 答案　24 抓住3个考点 突破4个考向 揭秘3年高考 第5讲　数列的综合应用 考点梳理 1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点 等差 数列 (1)强调每一项与前项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a1，d或a1，q确定 等比 数列 (1)强调每一项与前项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 2. 解答数列应用题的步骤 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就