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离散数学 第一章 命题逻辑 1-1 命题及其表示法 定义 1-1.1 命题： 具有确定真值的陈述句称为命题。 定义 1-1.2 真值： 命题总是具有一个“值”，称为真值。 真值只有“真”、“假”两种， 记作 True(真)和False(假)， 分别用符号T和F表示。 1-1 命题及其表示法 例1： (1) 不在同一直线上的三点确定一个平面。 (T) (2) 煤是白的。 (F) (3) 我学英语，或者我学日语。 (4) 如果天气好，那么我去散步。 以上是命题，其中(3)、 (4) 是复合命题。 1-1 命题及其表示法 例2：别的星球上有生物。 到目前为止，人们还不能判断别的星球上是否有生物，但也许将来的人可以判断，并且只能是别的星球上有生物或没有两种情况之一。因此是命题。 1-1 命题及其表示法 例3： (1) 全体立正！ (2) 明天是否开大会？ (3) 天气多好啊！ 以上祁使句、疑问句、感叹句都不是命题。 1-1 命题及其表示法 例4： 1） 本命题为假。 2） 我正在说谎。 这是悖论，没有确定的真值，不是命题。 1-1 命题及其表示法 例5： 1+101=110 在二进制中为真，在十进制中为假，需根据上下文才能确定真值。故也是命题。 由这些例子我们知道：有确定真值的陈述句是命题。 1-1 命题及其表示法 定义 1-1.3 原子命题和复合命题： 不能分解为更简单的陈述语句称为原子命题。 由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题称为复合命题。 1-1 命题及其表示法 在数理逻辑中，我们使用大写字母A，B，…，P，Q，…，或用带下标的大写字母或用数字表示命题。 例如： P：今天下雨。 [12]：今天下雨。 A1：今天下雨。 P、 [12]和 A1称为命题标识符。 1-1 命题及其表示法 定义1-1.4 命题常量和命题变元： 如果一个命题标识符表示确定的命题，就称为命题常量。 如果一个命题标识符只表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。 命题变元可以表示任意命题，所以它不能确定真值，故命题变元不是命题。 1-2 联结词 否定 ? 合取 ? 析取 ? 条件 ? 双条件 (1) 否定 定义1-2.1 否定： “非”，用“?”表示。 设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记作? P。 读作“非P”。 (1) 否定 例 P：上海是个大城市。 ? P：上海并不是个大城市。 ? P：上海是个不大的城市。 否定联结词是一个一元运算。 (2) 合取 定义1-2.2 合取： “和”，“与”，用“?”表示。两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P?Q。读作“P合取Q”，“P与Q”， “P并且Q”。当且仅当P、Q同时为T时， P?Q为T，在其它情况下， P?Q的真值都是F。 (2) 合取 例1 P：今天下雨。 Q：明天下雨。 P?Q：今天下雨而且明天下雨。 P?Q：今天与明天都下雨。 P?Q：这两天都下雨。 “合取”是一个二元运算。 (2) 合取 例 2 P：我们去看电影。 Q：房间里有十张桌子。 P?Q：我们去看电影与房间里有十张桌子。 (3) 析取 定义1-2.3 析取： “或”，用“?”表示。两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P?Q。读作“P或Q”， “P析取Q”。当且仅当P、Q同时为F时， P?Q的真值为F，否则P?Q的真值为T。 (3) 析取 例1 今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。 例2 他可能是100米或400米赛跑的冠军。 在例1中的“或”是“排斥或”，例2中的“或”是“可兼或”，而析取指的是“可兼或”。 例3 他昨天做了二十或三十道习题。 这个“或”字，只是表示了习题的近似数目，不能用联结词析取表达，例3是个原子命题。