数学模型与实验结课解答.doc

本科结课报告（设计） 题目： 关于的两个问题wo problems of mathematical modeling 姓 名： 学号： 院（系）：数学与物理学院 专业：数学与应用数学 指导教师： 职称： 教授 2013 年 04月摘 要 本文通过十一周《数学模型与实验》课程学习，对“布条缠绕圆形管道问题”和“保姆招聘计划问题”进行了详细分析、建模和解答。 关键词：数学建模；两个问题；分析。 Abstract In this paper, through the modelling and simulating course of eleven weeks, we have a detailed analysis answers and a detailed modeling of “Strips of cloth wound round pipe problem” and “The program about the recruitment of nanny”. Key words: Mathematical modeling; two problems; analysis. 目 录 一课程认识和理解关于的两个问题 （中国地质大学数学与物理学院 班） 一、引言 在现实生活中，由于计划和管理不当，在时间、人力、物力和资金等方面造成了很大的浪费，甚至带来严重的经济损失。为了适应现代化管理的需要，应运而生。 是近几十年来发展起来的一门新兴学科。的目的为行政管理人员在做决策时提供科学的依据。因此，它是实现管理现代化的有力工具。作为的重要组成部分，其在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验、财政经济以及社会科学中都得到了极为广泛的应用。 下面，本文将通过具体的实际问题来阐明的重要应用！ 二、 【问题描述】 的布条缠绕直径的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大(如图一)。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢？ 图一 【问题分析】 的布条缠绕已知直径为的圆形管道，求布条与管道轴线的夹角或在已知管道长度的情况下求出所需布条的长度。问题的关键点即条件要点在于布条应紧密排在一起且不能重叠。 由于布条是按最简单的圆柱螺线缠绕，所以我们可以在做适当假设下结合圆柱螺线相关知识进行建模求解。 【模型假设】 【模型建立】 在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升（其中、都是常数，在本文中，所有与角度有关的量均为弧度制），那么点构成的图形叫圆柱做螺旋线。 取时间为参数，动点从点出发，经过时间，运动到点，点在面的投影点为点，如图二所示。则有圆柱螺旋线的参数方程如下： （1），。令，则（1）式可变换为 （2） 当螺线旋转一周即时有螺线上升高度为，此时通常称为螺距。 而在本题中，条件布条紧密排在一起且不能重叠，考虑这种情况，设想将缠绕好的圆柱形管道平面沿垂直于底面圆的母线剪开展开成一平面，如图三所示。 图三 图三中，平行四边形等即为缠绕在圆形管道上的布条。由于题目要求布条应紧密排在一起且不能重叠，而图三是将缠绕好的圆柱形管道平面沿垂直于底面圆的母线展开成一平面，所以将图三复原成圆形管道后（或将平面图形对折），为了实现不重合且紧密排列的要求，点和点必须重合，否则，就不可能实现紧密且无缝隙的要求。而一旦点和点重合，则必有为直角。又因为，则有即为布条宽度即有。而长度为底面圆的周长即有。对于上的任意一段线段的长度等价于底面圆中圆心角为所对应的弧长，由扇形弧长公式有弧长，其中，为扇形半径。 综上所述，建立上述模型后，则可以根据初等数学中有关的几何知识进行求解。 【求解】 本将用 （）后上升的高度恰好为，则带入方程（3）中第三个式子有 （）有，即要使布条不重叠则上升一周的高度恰好为，所以有，解得，即布条与管道轴线的夹角应为。 对于在知道管道长度，在考虑两端的影响情况下求需用多长布条问题，都可以将其转化为图四所示情况。 图四 由上图结合几何关系可以看出，所需布条总长度为 其中，表示取整运算，为管道长度，，，。 纵观本题建模思路，其建模的关键点在于将布条沿垂直于底面的母线展开展成平面进行求解，所以，只要是柱体，不管它的截面是什么形状，我们都可以沿垂直于底面的母线展开展成平面进行求解，此时，图四中平面图形的宽不再是底面圆的周长，而是新柱体底面的周长，所以，只要是规则的柱体，只不过需要将上述求法