数学：3.2《一元二次不等式及其解法》课件（人教A版必修1）.pptVIP

3.3 《一元二次不等式及其解法》 老河口一中 杨向征 教学目标 掌握一元二次不等式的解法 教学重点： 一元二次不等式的解法 * * 考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－10 和 3x2+6x－1≤0. 这两个不等式有两个共同特点： （1）含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2. 一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。 一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c0 (a≠0)，或ax2+bx+c0 (a≠0) 其中a，b，c均为常数。 一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式， 即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)， 一元二次不等式f(x)0，或f(x)0 (a≠0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。 一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。 因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。 下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。 例如解不等式： （1）x2－x－60；（2）x2－x－60. 我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6 = 的图象和性质。 方程x2－x－6=0的判别式 于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=－2，x2=3. 建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(－2，0)，N(3，0)， 观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合 A={x| x－2或x3}是一元二 次不等式x2－x－60的解集。 抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B={x| －2x3}是一元二次不等式x2－x－60的解集。 事实上，当x∈A时，若x－2，则x+20，且x－30，由此可推知 (x+2)(x－3)0； 若x3，同样可推知(x+2)(x－3)0。 当x∈B时，即－2x3时，x+20， x－30，因此(x+2)(x－3)0， 不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解： （1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)， 所以解x2－x－60，就是解(x+2)(x－3)0, 相对于解不等式组 或 ， 解这两个不等式组得x3或x－2. （2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－60，就是解(x+2)(x－3)0， 相对于解不等式组 或 ， 解这两个不等式组得－2x3. 比较上面的两种解法，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些。 例1．解不等式：（1）x2－2x+30； （2）x2－2x+30. 分析：考察方程x2－2x+3=0的判别式△=(－2)2－4×1×30,二次函数的图象位于x轴的上方（如图），这时对于任意的实数x，都有x2－2x+30。 解：对于任意实数x， x2－2x+3=(x－1)2+20， 因此不等式（1）的解集为实数集R， 不等式（2）无解，或说它的解集为空集. 通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c0 (a0)和ax2+bx+c0 (a0)解集的形式作一般性的分析。 设方程ax2+bx+c=0 (a0)的判别式为△。 （1）当△0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x1x2）. 考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，这时，函数的零点把x轴分成三个区间 (－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)， 不等式ax2+bx+c0的解集是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)，不等式ax2+bx+c0的解集是(x1，x2). 简单的说是： 大于在两边，小于在中间。 （2）当△=0时，通过配方得， 由图可知，ax2+bx+c0的解集是 的全体实数，即 ax2+bx+c0的解集是空集，即不等式无解。 （3）当△0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c0的解集是空集。