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模块6 多元函数微积分 6·1 空间曲面及其方程、多元函数 6·2 偏导数与全微积分 6·3 复合函数与隐函数的偏导数 6·4 二元函数的极值 6·5 二重定积分 6·6 二重积分的应用 案例研究 6·1 空间曲面及其方程、多元函数 案例6.1 果汁的价格:一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁,当地牌子的进价每瓶3元,外地牌子 的进价每瓶4元. 店主估计,若当地牌子的每瓶卖x元, 外地牌子的每瓶卖y元,则每天可卖出当地牌子的果汁 瓶,外地牌子的果汁 瓶. 问:店 主每天以什么价格卖两种牌子的果汁时,才可获得最大 收益? 分析 每天的收益为 上式中,x和y是自变量,R是因变量,因此R是x 和 y 的 函 数, 这 样 一类函数称为二元函数,记作 于是,问题成为研究函数 的 最大值. 自然提出下面的问题: (1)二元函数的定义域怎样表达?图像是什么? (2)二元函数的极限怎样求?连续性怎样判定? (3)二元函数的导数怎样求?是否仍然可用导数 来判定其最大值? 抽象归纳 z y x o 空间直角坐标系的定义: 八个卦限: y x z o I II III IV V VI VII VIII 空间中点的坐标:M(x, y, z). o x z y M P Q R 空间两点的距离公式 M(x, y, z)、O(0,0,0)之间的距离为 z1 M2 z2 y1 M1 x1 x2 x 空间曲面与方程 若曲面S上任意一点的坐标( x, y ,z)都满足方程 F(x, y, z)= 0,而不在曲面S上的点的坐标都不满足方 程F(x, y, z)= 0, 则称 F(x, y, z)= 0 为 曲面 S的方程, 而曲面S称为方程F(x, y, z)= 0的图形. 例1 求与两定点M(-1,0,2),N(3,1,1)距离相 等的点的轨迹方程 . 解 设动点坐标为P( x, y, z), 则有 由两 点间距离公式,得 化简得轨迹方程为 4x+y-z-3=0. 问:在例1中,所求的轨迹是的几何形象是什么? 归纳:空间平面的方程: 其 中A、B、C、D都是常数,且A、B、C不全为0. 讨论:空间平面方程与平面直线方程有何异同? 例2 作z = d (d为常数)的图形. 解 这是A=0,B=0, C=1, 时的平面方程, 不论x 、y取何值,z的值恒为d,所以, 的图形 是平行于xOy面的平面,如图所示. y z x o d 例3 求球心为点 半径为R的球 面方程. 解 设球面上任一点为 则 得 特别地,当球心为原点时,球面方程为 例4 作 的图形. 问:你能否给它取一个名字? y z x o R 例5 作 的图形. y x z o 多元函数的概念 定义 设在某一个变化过程中有三个变量x, y和z, 若对于变量x, y在其变化范围内所取的每一对数值,变 量 z 按照某个对应法则 f,都有惟一确定的数值与之对 应,则称 z 为x、y的二元函数, 记作 其中 x、y称为自变量,z 称为因变量. 自变量的取值范围叫 做函数的定义域. 类似地,可以定义三元函数 以及三 元以上的函数. 二元及二元以上的函数统称为多元函数. 二元函数的定义域 二元函 的定义域 是一个平面区域. 区域: 闭区域: 开区域: 有界区域: 无界区域: 例6 求下列函数的定义域并画出相应图形. (1) (2) 解 (1) (2)要使z有意义,必须 所以,定义域是 D={(x,y)|x2+y2≤1}. x y o D={(x,y)|x2+y2≤1}. x y o -1 1 二元函数的图像 二元函数的图像是一张曲面: 例7 作二元函数 的图像. 解 由 两边平方,得 整理后,得 y x z o 1 2 二元函数的极限与连续 二元函数的极限定义 设函数 在点 P0(x0,y0) 的周围邻近有定义( 点P0可以除外),若当点 P(x, y) 沿任意路径趋于点P0时, 都趋于一个 确 定 的 常 数 A,则 称 A 是 函 数 当 时的极限,记作 或 讨论 点 沿任意路径趋向于点 的 含义是什么?它与一元函数的极限有何区别? x o y 例8 求极限 解
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