应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏3-5课件.pptVIP

*3·5 曲率 案例研究 案例3.5 眼镜片的曲率：如图是我们常配戴的某种眼镜片的照片. 眼镜片的一个重要光学参 数是它的曲率，它是描述镜片表面与过镜片中心的平面所截得曲线的弯曲程度的一个值. 现在新推出的非球形镜 片，充分考虑了人眼的生物特征，镜片表面曲线采用椭圆或抛物线，镜片中央、中间和周边各处的曲率是不同的. 例如，某种镜片的中央曲率7.50mm-1；中间曲率为8.50mm-1，周边曲率为12.00mm-1. 这些数据是怎样计算出来的呢？ 抽象归纳 曲率及其计算公式 案例3.5提出了曲线的曲率问题. 那么，曲率 （即曲线的弯曲程度）与哪些量有关呢？ 看图，曲线弧 切线的转角（当一 点沿曲线弧从M点移动到N时，切线所转过的角度） 比值 这时曲线弧 比 的弯曲程度大. 再看图，曲线弧 切线的转角 比值 这时曲线弧 比 的弯曲程度小. 这就是说，曲线弧的弯曲程度与它的长度及 其两端切线的转角大小有关，并且可用比值 来描述. 我们把曲线弧两端切线的转角与弧长之 比，叫做这段弧上的平均曲率， 记作 即 当弧长越小时，平均曲率就越能表示弧上某 一点附近的弯曲程度. 当点 N 沿曲线趋于点 M 时， 的平均曲率的极限，叫做曲线在点M的曲率， 记作K，即 这里 用弧度数表示，平均曲率和曲率的单位是 “弧度／单位长”. 例1 已知圆的半径为R，求：（1）圆上任一段的平均曲率；（2）圆上任一点的曲率. 解 （1） （2） 如图，求曲线 在点 的曲率. 分析 因为弧 的平均曲率为 所以在点 的 曲率为 曲线的曲率等于切线倾斜角的微分 与弧 微分 的商. （2）如图， （1）（2） 曲率的计算公式： 例2 求等边双曲线 在点（1，1）处的 曲率. 解 由 得 于是 代入曲率的计算公式，得 例3 求抛物线 上曲率最大的点. 解 由 得 代入曲率的计算公式，得 在顶点（0，0）处抛物线的曲率最大. 曲率圆和曲率半径 看图，圆C与曲线 有以下关系： （1）在点M处有公共的切线； （2）在点M处有公共的凹向； （3）在点M处有相同的曲率. 我们把同时满足以上三个条件的圆叫做曲线 在点 M 的曲率圆. 曲率圆的圆心 C 叫做曲线在点 M的曲率中心， 曲率圆的半径R叫做曲线在点M 的曲率半径. 由定义可知，曲率中心必位于曲线在点M的 法线上，并且在曲线的凹向一侧. 若曲线在点 M 的曲率为K，则在该点曲率圆 的曲率也是K. 由例1知 因此，曲率半径 将曲率的计算公式代入上式，得 这就是曲率半径的计算公式. 例4 求等边双曲线 在点（1，1）的曲 率半径. 解 由例2知，该曲线在点（1，1）处的曲 率 所以，所求曲率半径为 例5 如图，设工件内表面的截线为抛物线 现在要用砂轮磨削其内表面，问直径 多大的砂轮比较合适？ 解 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.