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最值练习 已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ -2ax ） 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 解：（I）对函数求导数得 令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0 解得 当 变化时，、的变化如下表 + 0 － 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。 当≥0时，－1,在上为减函数，在上为增函数 而当时=，当x=0时， 所以当时，取得最小值 （II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是 即，解得 于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是 即的取值范围是 已知函数， （Ⅰ）求的单调区间和值域； （Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围 解：对函数求导，得 令解得 或 当变化时，、的变化情况如下表： x 0 0 所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 当时，的值域为 （Ⅱ）对函数求导，得 因此，当时， 因此当时，为减函数，从而当时有 又，，即当时有 任给，，存在使得，则 即 解式得 或 解式得 又， 故：的取值范围为 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)0，解得x－1或x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． 已知函数 （Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合； （Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值. 解：（1）当a=2时,，则方程f(x)=x即为 解方程得： （2）（I）当a0时,， 作出其草图见右, 易知有两个极值点借助于图像可知 当时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时 当时,显然此时函数的最小值为 当时，，此时在区间为增函数，在区间上为减函数，∴，又可得 ∴ 则当时，，此时 当时，，此时 当时，,此时在区间为增函数，故 (II)当时，，此时在区间也为增函数，故 （III）当时，其草图见右 显然函数在区间为增函数，故 已知函数。 （Ⅰ）设，讨论的单调性； （Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。 15．解：（I） 的定义域为（，1）（1，） 因为（其中）恒成立，所以 ⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数； ⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数； ⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+） （其中） 所以在各区间内的增减性如下表： 区间 （，） （，t） （t，1） （1，+） 的符号 + + + 的单调性 增函数 减函数 增函数 增函数 （II）显然 ⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有； ⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾； ⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。 综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2） 19．（2006年全国卷II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． 19．解法一： 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分 (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax． ……