第一讲 点运动中的函数问题 第2节 函数中动点与四边形的存在性第一讲 点运动中的函数问题 第2节 函数中动点与四边形的存在性.doc

第2节 函数中动点与四边形的存在性 试题（2013年重庆市）如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．（1）求直线与抛物线的解析式； （2）若点是抛物线在轴下方图象上的一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值；（3）在（2）的条件下，取得最大值时，若点是抛物线在轴下方图象上任意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为，的面积为，且，求点的坐标． 【参考答案】（1）设直线的解析式为，：，解得， ∴直线的解析式为将、两点的坐标代入：，解得∴抛物线的解析式为，另一交点 （2）设，其中，则∴∴当时，有最大值； （3）∵取得最大值时，∴又、，∴，的面积∴平行四边形的面积为 设平行四边形的边上的高为，则∵，∴，过作作直线的平行线，交抛物线与点，交轴于点，在直线上截取，则四边形为平行四边形． ∵，，∴∴为等腰直角三角形，又，∴设直线的解析式为，将代入，得，解得∴直线的解析式为 解方程组，得， ∴点的坐标为（与点重合）或． 【变式练习】（2012年）如图3所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B，且． （1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动． ①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意知点A（0，﹣12），所以c=﹣12， 又18a+c=0，，∵AB∥OC，且AB=6，∴抛物线的对称轴是，∴b=﹣4， 所以抛物线的解析式为；（2）①，（0＜t＜6）②当t=3时，S取最大值为9．这时点P的坐标（3，﹣12），点Q坐标（6，﹣6） 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况： （Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18）， （Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件． （Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．综上所述，点R坐标为（3，﹣18）． 试题（2012年泉州市第26题） 如图，点O为坐标原点，直线绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数交于不同的两点P、Q.（1）求h的值；（2）通过操作、观察算出△POQ面积的最小值；（3）过点P、C作直线，与轴交于点B，试问：在直线的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状. 【参考答案】（1）将点C代入二次函数中，得； (2) 操作、观察可知当直线∥轴时，其面积最小； 将y=2代入二次函数中，得， △POQ面积的最小值 S= （3）由特殊到一般： ①当直线∥轴时，P，Q，直线PC：交轴于B，又A（0,2），所以四边形AOBQ为正方形。 ②如图，当直线不平行轴时，四边形AOBQ为梯形。 连接BQ，设P， Q；() 直线BC：过点P,即，得；； 点B为； 同理直线：；；；消去得； 所以点Q、B点的横坐标相同，即：AC∥BQ，且AQ不平行OB；故四边形AOBQ为梯形 【易错点评】（1）平时逻辑思维训练多，动手实验、观察猜想训练少，数学直觉力不强，找不到特殊位置直线∥轴时，其面积最小；（2）思维不严谨，漏考虑“当直线∥轴时，四边形AOBQ为正方形”。 【方法点评】这是一个动态几何问题，我们只要仔细观察、冷静思考、多画几个图形，读几遍题目就会找到解决问题的突破口，另外考虑总是一定要全面，千万不能多解。 【反思与启迪】数学课程标准中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”因此操作实践型中考题将会从简单的剪剪拼拼向通过操作或实验来探究、发现、猜想等过渡，同时也可能利用操作探究得出的结论来解决新问题，这个动向要引起注意和重视。 【变式练习】（2013年安顺市第26题）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （