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第2讲 解析几何中的“瓶颈题”【突破解析几何】第2讲 解析几何中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第81~88页)数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,主要分六块:三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题,若能够拿下应用问题和解析几何题,就攻下全部中下档题目,便锁定了128分,应该认为这已打了一个大胜仗,基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是:直线与方程,圆方程,圆锥曲线的定义,标准方程及其应用,离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质以及数学学科内在的联系和综合.解析几何解答题重点考查的内容是:圆锥曲线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系.常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,其难度往往体现在运算上,尤其是代数式的运算,“降低运算量”应视为解答解析几何综合问题的首要理念,只有将运算量有效地降下来,才能回避繁重的计算.因而,如何降低其运算量是突破解析几何问题的关键.【解法概述】举题说法 突破瓶颈回归定义,追根溯源定义是事物本质属性的概括与反映.圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程的依据,也是常用的解题方法.事实上,圆锥曲线的许多性质都是由定义派生出来的.对某些圆锥曲线问题、甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题,若采取“回归定义”的策略,把定量的计算和定性的分析有机地结合起来,则往往能获得题目所固有的本质属性,达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的,这样可使计算量大大减少.例1 如图,圆C:(x+2)2+y2=36,P是圆C上的任意一动点,点A的坐标为(2,0),线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.求点Q的轨迹G的方程.(例1)【分析】因为QA=QP,所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6,再根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C,A为焦点,长轴长等于6的椭圆.【解答】圆C的圆心为C(-2,0),半径r=6,CA=4,连接QA.由已知得QA=QP,所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6CA.根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C,A为焦点,长轴长等于6的椭圆,即a=3,c=2,b2=a2-c2=9-4=5,所以点Q的轨迹G的方程为+=1.【点评】应用定义求动点轨迹或其方程,其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程,给人以简捷、明快之感.定义法是解析几何中最朴素、最基本的数学思想方法,可以说它是求动点轨迹或其方程的重要方法之一.练习1 如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是椭圆C1和双曲线C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则双曲线C2的离心率为 .(练习1)【分析】在Rt△AF1F2中运用椭圆的定义、双曲线的定义及勾股定理求解.【答案】【解析】设双曲线的方程为-=1(a0,b0),则AF2+AF1=4,AF2-AF1=2a,得AF2=2+a,AF1=2-a,而c==,由题意得(2)2=(2-a)2+(2+a)2,解得a=,所以e==.【点评】也可以通过椭圆C1与圆x2+y2=3(以F1F2为直径的圆)求得交点A后,把点A的坐标代入双曲线C2求其离心率,但运算量较大.练习2 如图,已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则||= .(练习2)【分析】过点Q作QM⊥直线l于点M,设直线l与x轴交于点N,由△PQM∽△PFN求QM,再利用抛物线的定义求QF.【答案】3(练习2)【解析】如图,过点Q作QM⊥直线l于点M,设直线l与x轴交于点N,因为=4,所以=.又FN=4,则==,所以QM=3,由抛物线定义知QF=QM=3.【点评】本题也可设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线FP:y=k(x-2)与y2=8x联立求y1,y2(含k),再通过==求k的值,然后求出点Q的坐标,最后求QF,但运算非常大.所以若能灵活地运用圆锥曲线的定义考虑问题,可使解答更为直观、运算量更低.设而不求,多思少算例1 已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-1)2+(y-1)2=1,求两圆公共弦所在直线的方程.【分析】容易想到联立两个方程求得两圆的交点坐标,并利用“两点式”求出直线方程.可是明显计算量较大.事实上,考虑设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点A同时满足圆C1和圆C2的方程,即+=1且(x1-1)2+(y1-1)2=1,所以+-[(x1-1)2+(y1-1)2]=1-1=0,即得x1+y1-1=0,所以点A的坐标满足方程x+y-1
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