第25讲 不规则图形的面积 四年级奥数 格点和面积补充第25讲 不规则图形的面积 四年级奥数 格点和面积补充.doc

格点和面积 这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。见右图： 这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。 借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1 【典型例题】 例1：计算下列各图的面积。 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。 解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。 (2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。 （3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。 （4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。 （5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。合起来有6个面积单位。所以它的面积为6个面积单位。 （6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。 【随堂练习】 1.求格点多边形的面积（如图1）。 2.求格点多边形的面积（如图2）。 图1 图2 例2：计算下列这个格点多边形的面积。 分析:这是一个不规则多边形，不能直接求出它的面积，可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1；另外还可以将该四边形分成几块，如图2. 【随堂练习】 1.求格点多变形的面积（图3）。 2．求格点多边形的面积（图4）。 图3 图4 例3：相邻四点连成的小正方形面积是1平方厘米。分别连接各点，组成下列12个图形，你发现有什么排列规律？ 分析：横看，从左到右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数保持不变。竖看，从上往下图形一周的格点数保持不变，中间的格点数逐渐增多。 图形一周的格点数，中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有格点，中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。 第一组 图形编号 ① ② ③ ④ 一周格点数 4 6 8 14 中间格点数 0 0 0 0 面积（平方厘米） 1 2 3 6 中间没有格点时，面积＝一周格点数÷２－１ 第二组 图形编号 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 一周格点数 4 6 8 11 中间格点数 1 1 1 1 面积（平方厘米） 2 3 4 7 中间有一个格点时，面积＝１＋一周格点数÷２－１ 第三组 图形编号 ⑨ ⑩ ⑾ ⑿ 一周格点数 4 6 8 14 中间格点数 2 2 2 2 面积（平方厘米） 3 4 8 8 中间有２个格点时，面积＝２＋一周格点数÷２－１ 解：（１）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积随着中间的格点数增加而增加。 （２）各图形面积（见上表）的大小与一周的格点数，中间的格点数都有关系，格点图形面积的计算公式是：图形的面积＝中间格点数＋图形一周的格点数÷２－１ 【随堂练习】 1.通过割补图形求格点多边形的面积（图5）。 2.通过割补法求格点多边形的面积（图6）。 3.利用格点多边形面积公式计算，结果一样吗？ 图5 图6 例4：下图中的每一个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。 分析：内部格点数为9个，周界上格点数为8个， 根据格点面积公式可求出阴影部分的面积为： 解：4×（9＋8÷2﹣1）=48（平方厘米） 【随堂练习】 1.求格点图形面积（图7）。 2.求格点图形面积（图8）。 例5：在下面图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。 分析：方法一：内部格点数为4个，周界上格点数为4个，三角形