第23讲 游戏必胜策略第23讲 游戏必胜策略.doc

小升初面试第二阶段数学课程--游戏必胜的策略 第一部分 思维提升（45分钟） 我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。 田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。 下面我们就根据这个理论来想一想对策： 例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？ 分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、…、4. 只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100. 但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2…）因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。 思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？） 例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？ 分析：这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。 解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。 说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。 例3、一张3×10的长方形网格纸有30个小方格。甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。甲要想获胜，有何策略 ？ 分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。 解：甲先剪下7×3的一块，把3×3的那块送给乙。乙只能剪成1×3和2×3的两块。若送给甲1×3的那块，正好使甲剪下1×2而获胜。若送给甲2×3的那块，那么甲再一刀剪成1×2和2×2的两块 ，把2×2的送给乙。乙只可能切成1×2的两块。其中一块送给甲，甲还是获胜。 同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法。 例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。轮到谁无法写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要什么对策？ 分析：仍然利用对称原理。抢先给对方制造一个对称。只要甲先写6. 解：甲先写6。乙还有4、5、7、8、9、10六个数可以选择。把他们分成三组（4,5）、 （8,10）、（7,9）。乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。 例5、在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙二人玩游戏。由甲开始，二人交替地移动这粒石子。每次只能向上、向右或向右上方移动一格。谁把石子移到右上角谁胜。问甲要取胜的策略是什么？ ：要占领右上角必须先占领图中打点的格子，甲先走入打点的格子， 乙无论如何走，甲都可以再走入打点的格子，甲一定胜。 人均捐款数/元 六年级 7.6 四年级 32% 6.2 33% 五年级 5.4 35%