第 29 讲 不等式的证明(第2课时-分析法反证法与数学归纳法)第 29 讲 不等式的证明(第2课时-分析法反证法与数学归纳法).doc

第 29 讲 不等式的证明-分析法、反证法与数学归纳法 （第2课时） 3．分析法 所谓分析法，就是从结论入手进行变形，最后推出与条件相符。注意推导的每步必须可逆。 例．已知 ，求证： 。 证明：要证 ，由于 ，不等式两边都是正数，所以两边同时立方，只要证 ，即只要证 ，即只要证 ， ∵ ，∴ 两边同时除以，只要证 ， ∵ ，∴ 成立， 上述每步可逆，故原不等式成立。 点评：本题使用分析法，利用了不等式的性质。 例．已知 ，求证： 。 证明： 设 ， ，两式相加得 ， 则原不等式可化为 ， ∵ ，∴ ， ，即 ， ，∴ ， 即只要证 ，即只要证 ，即只要证 ， 根据倒数不等式可知 成立，上述每步可逆，故原不等式成立。 点评：本题使用分析法，利用了换元技巧和倒数不等式。换元的目的在于简化原不等式的结构。本题换元后，减少了一个参数。 4．反证法（备用） 例．证明： 。 假设 ，则有 ， ∵ 的 ，故 ，∴ ， 整理得 ，∴ ，这显然不成立， ∴ 。 点评：有时需要对二次三项式的正负进行判别。 例．已知 ， ，求证： 。 证明：假设 ，那么 ∵ ，∴ ， 即 ，即 ， ∴ 或 ，∴ 或 ，而这都与已知条件矛盾， ∴ 原不等式成立。 点评：本题是含绝对值的不等式证明，关键在于去掉绝对值符号。本题使用两边平方的方法去绝对值符号，在去分母时要注意排除 的可能性。 5．数学归纳法（备用） 例．求证： （）。 证明：⑴ 当 时，左边，右边 ，结论成立； ⑵ 假设当 时，结论成立，即 （）， 那么当 时， （展开） （上式只留下两项） （根据归纳假设） ∴ 时，结论也成立； 综上所述，命题成立。 DS 23 02,03 不等式证明 1 2 3 4 5 6 7 分析法 √ √ √ √ 反证法 √ 数学归纳法 √ 技巧 放缩 换元 配方 √ √ 拆项 利用基本 不等式 一式的平方不小于零 √ √ 均值不等式 倒数的和不小于2 利用不等式的性质 √ 利用函数值域 利用函数的增减性 1．若 、、为不等正数，试证： 。 证明: ∵ 、、为不等正数，∴ 上式成立， ∴ 原不等式成立 。 点评：本题使用分析法，利用了配方技巧。 2．求证： ，当且仅当 时，等号成立。 证明：要证 ，两边同乘2，只要证 ，即只要证 。 上式显然成立，当且仅当 时，等号成立。 点评：本题利用了配方、不等式的性质“一式平方不小于零”。 3. 若 ， ，求证： 。 证明: ∵ ， ，∴ ， 要证 ，只要证 ， ∵ ， 不论 或 ，都有 ， ∴ ，∴ 。 解题错误：自己给题目增加条件“”。 点评：本题使用分析法。 4*．求证： （，）。 证明：要证 ，∵ 两边均大于零，∴ 两边平方，只要证 ， 即只要证 且上述各式不同时取等号， 不论为何大于2的自然数，上述各式中总有一个不取等号，不妨设时不取等号，即从上往下数第个式子不取等号，证明如下： 第个式子为 ，即 ， 当 时，上式变为 ，∵ ，∴ 从上往下数第个式子不可能取等号。 故只要证 （） ， 即只要证 （） ， 上式显然成立， ∴ 5．已知函数 ， ，若 ，求证： 。 证明：∵ 原不等式化为 ， 即 ，即 ， 要证原不等式成立，只要证 ， ∵ ，∴ ， ，又 ， ∴ ∴ ， ∴ 原不等式成立。 6. 设、、、是正数，求证：下列三个不等式 ① ② ③ 中至少有一个不成立。 证明：假设不等式①②③都成立，∵ 、、、是正数， 那么 ①×② 得 ④， 由③可得 ， ∵ ，∴ ， 结合②可得 ，即 ，即 ， 由④可得 ，即 ， 但 、是正数，∴ 不可能， ∴ 不等式①②③中至少有一个不成立。 7．用数学归纳法证明： 。其中 ， 。 提示：只要由 推出 即可，∵ ，即 ，∴ 把 两边同乘 得 ，故只要证 ，两边展开后显然成立。 考点热点 一定掌握！