立体几何--折叠问题与存在性问题立体几何--折叠问题与存在性问题.docx

立体几何-----折叠问题与存在性问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。1.如图，在中，是上的高，沿把折起，使（Ⅰ）证明：平面ADB??⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值.2.（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP； （Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （III）求二面角B－A1P－F的余弦值.3.如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(Ⅰ) 求证:平面；(Ⅱ) 求几何体的体积.。4.已知等腰三角形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）. （Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD； （Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分； （Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.5.如图1，在Rt △ABC中， ∠C=90 °，D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得A1F⊥CD,如图2 (1)求证：DE∥平面A1CB (2)求证： A1F⊥BE (3)线段A1B上是否存在点Q，使得A1C ⊥平面DEQ？说明理由6.（江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形求证：ADBC求二面角B－AC－D的大小在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。7.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.(Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.证明：如图，以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为