第七讲：非离散型随机变量.ppt

概率与统计第七讲 非离散型随机变量 开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页 2.3 随机变量的分布函数一、分布函数的概念. 二、分布函数的性质 2.4 连续型随机变量一、概率密度 * * 想一想：离散型随机变量的统计特征可以 用分布律描述，非离散型的该如何描述？ 如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对 消费者来说，你是否在意 {X5年}还是{X5年零1分钟} 定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件{X?x}的概率P{X?x}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)＝P {X?x}. 易知，对任意实数a, b (ab), P {aX?b}＝P{X?b}－P{X?a}＝ F(b)－F(a). 1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)?F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0?F(x)?1，且 3、右连续性：对任意实数x， 反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。 例1 设随机变量X具分布律如右表 解 0.3 0.6 0.1 P 2 1 0 X 试求出X的分布函数。 一般地，对离散型随机变量 X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函数为 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型. 已知随机变量X的分布函数为 求a,b,并求: 例2 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数 解： F(x)=P{X≤x} 当x0时,F(x)=0;当x1时,F(x)=1 当0≤x≤1时, 特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1 用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？ a b 1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-?x+?)，使对任意实数x，都有 则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X～ f(x) , (-?x+?) 密度函数的几何意义为 2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)?0，(-?x?)； (2)归一性 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 设随机变量X的概率密度为 求常数a. (3) 若x是f(x)的连续点，则 设随机变量X的分布函数为 求f(x) （4） 对任意实数b，若X～ f(x)， (-?x?)，则P{X=b}＝0。 于是 例 1.已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求P{X?(0.5,1.5)} 随机变量的分布函数 单调不减性 归一性 右连续性 连续型随机变量 的概率密度 F(x)…f(x) 非负性 P{aXb} 设随机变量X的分布函数为 (1)求P{X2},P{0X3},P{2Xe-0.1}. (2)求概率密度f(x) 1. 均匀分布 若X～f(x)＝ 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (acdb)，都有 二 几个常用的连续型分布