化学中的数学方法2.ppt

12．U矩阵(么正矩阵) 若矩阵A的逆矩阵A-1与它的共轭转置矩阵A+ 相等， ，称矩阵A为U矩阵，或么正矩阵。 U矩阵也一定为一方阵，应为只有方阵才有逆矩阵。 对于U矩阵有 该矩阵的矩阵元为uij ，由 得 式中n是矩阵U的阶 说明U矩阵每一行的元素的模的平方和等于1，而它的任意一行的元素与另一行的位于同一列的元素共轭复数乘积之和等于0. 由 得 说明U矩阵每一列的元素的模的平方和等于1，而它的任意一列的元素与另一列的位于同一行的元素共轭复数乘积之和等于0. 以上公式都可以作为矩阵是U矩阵的充分必要条件。 由 和 还可得到 行列式 的值是行列式 值的共轭复数，说明U 矩阵的行列式的模等于1 13. 正交矩阵 矩阵A的元素都为实数，如果矩阵A的逆矩阵 A-1与其 转置矩阵At相等，称A为一正交矩阵。 正交矩阵一定是U矩阵，是U矩阵中的一种。 14. 准对角矩阵 下列形状的矩阵 式中Al是nl阶方阵，0代表某种阶数的所有矩阵元素 都是0的矩阵，称为 型准对角矩阵。 = 是一个(2, 1, 4)型准对角矩阵 设有两个准对角矩阵 A为 型准对角矩阵，B为 型准 对角矩阵，若所有的ni都相等，即 ， 则称A和B为同一类型的准对角矩阵。 两个相同型的准对角矩阵的乘积仍为同一类型的准对角 矩阵，即若A和B皆为 型的准对角矩阵，则其乘 积C也为 型的准对角矩阵。 例 C也为以(2,1)型的准对角矩阵 ? 2016 东北师大化学学院 功能材料化学研究所 * * * * * * ? 2016 东北师范大学化学学院功能材料化学研究所 化学中的数学方法 2016年3月 仇永清 化学学院 功能材料化学研究所 第二章 矩阵及运算 一、矩阵 设xy平面有一坐标为(x,y)的点p，将点p绕原点逆时针旋转α角至p?, p?的坐标(x?,y?)，如何由p点的坐标及旋转角度α确定p?的坐标？ 设点p的极坐标为( )，在旋转过程中不改变点p离 极坐标的关系为： 原点的距离r，因此p?的极坐标影为( ), 直角坐标与 (1) (2) ? (1)代入(2)得： 可表示成： 新旧坐标之间的关系是由这四个系数组成的表 唯一确定的 一般，n个坐标 与 之间的线性变换关系 …… 也是唯一的由这些系数 组成的表 …… …… …… …… …… 所确定的 若讨论表示新旧坐标之间的变换关系，只要研究这个表就可以了。表中每一个数字的位置是不能任意串动的。 我们把这样一个表称为矩阵。 定义由 个数排列成的矩阵的表 称为一个m行n列的矩阵，简称为 矩阵。 矩阵两边用圆括号括起来，简单记为 , ，进一步简化 , 横的各排叫矩阵的行，纵的各排叫矩阵的列，矩阵中每一 个数叫矩阵的元素，位于第i行第j列的元素用 表示。 矩阵的元素可以是0，但不能空着。矩阵的行数m和列数n不一定相等，如果m=n，成为n阶正方矩阵或n阶方阵。 注意： 不可将矩阵和行列式混淆，特别是将方阵与行列式混淆。虽然从外形上看两者相似，但二者绝不是一回事。行列式是按照一定运算规则进行运算的一些数，它有一个值，而矩阵是由许多数字组成的矩阵表本身，矩阵没有值。另外行列式的行数和列数必须相等，而矩阵的行数和列数不一定要相等。为区别，行列式两边用直线括起来，矩阵两边用圆括号括起来。 例： 3×3阶矩阵，或称3阶方阵 2×3阶矩阵 2×2阶矩阵，或称2阶方阵 也是一个矩阵，这个矩阵只有一列，称单列矩阵，只有一行的矩阵称单行矩阵。 二、矩阵的运算和性质 1. 矩阵相等 若两