分形和溷沌.ppt

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分形和混沌 形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的数学语言来描述; 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用迭代方法生成. 前景与展望 这个看起来很简单的方程,却可以展现出丰富多采的动力学行为.其实它并不只是一个描述虫口变化的模型.它同时考虑了鼓励和抑制两种因素,反映出“过犹不及”的效应,因而具有更普遍的意义和用途.   可以适当地重新“标度”方程(7.23)的变量,例如取αyn为新的变量,而以β/α作为新的参量,还可进一步取最大虫口数目为1,这样得到一个抽象的、标准的虫口方程   xn+1=μxn(1-xn) (7.24)   现在xn的变化范围是[0,1]线段,而参量μ通常在0到4之间取值.   虫口方程(7.24)是通向混沌动力学主峰的崎岖道路的起点.我们只能踏最初几步,略探其中奥秘.先换几个角度来考察方程(7.24).它右面的xn从[0,1]线段取值,变换成左面的xn+l,仍然在同一个线段中.这是线段到自身的一个“映射”,      《性命圭旨》中的“化身五五图”。 其一般形式为   xn+1=f(μ,xn),xn∈I (7.25) 其中f(μ,x)是依赖于参量μ的一个非线性函数.   方程(7.4)或(7.25)又是一个迭代过程.取初始值x0,计算出x1;再把x1代入右端,求得x2,…,这样得到一条轨道   x0,x1,x2,x3,… (7.26)   这个迭代过程可以用图上作业形象地表示出来,如下图所示. 图中画出了非线性函数f(x)和代表y=x的45°倾斜的分角线.在横轴上取初值x0,垂直向上找到与f(x)的交点就是x1;为了把它作为下一次迭代的自变量,只须水平地找到与分角线的交点. 这样,整个迭代过程就是不断地在函数f(x)和分角线之间作直线.掌握这种图上作业,对于理解虫口方程的动力学很有帮助.   我们还可以把迭代计数n看作离散的时间,在马尔萨斯的模型中指第n个25年,而在虫口方程中则是第n个夏天.这样,(7.24)或(7.25)就是离散的时间演化方程,而式(7.26)是演化过程的记录.   对于轨道式(7.26)可以提许多问题.例如,它是周期还是非周期的,它是简单还是复杂的,它对于初值x0的细微变化是否敏感,等等.这些问题都可用严格的理论方法来回答,不过我们最好先拿一个小计算器来取得一些感性知识.   先取定参数μ=2.5,用初值x0=0.5开始迭代,得到如下一串数值:   x1=0.625   x2=0.5859375   …   x28=0.599999998    x29=0.6   x30=0.6   …   从x29开始,都得到0.6,不再变化.这条轨道在经过一段过渡过程之后导致一个不动点x*=0.6.用虫口模型的语言说,在这样一个参量下虫口最终达到不随时间变化的固定值.重要的事实是:换用任何其它初值,结果都达到同一个不动点x*,只是过渡过程可能略有不同.换句话说,最终的状态对初值的变化不敏感;所有的初值都被“吸引”到不动点.或者说,不动点是一个吸引子.   如果把参量改为μ=3.3,还从初值x0=0.5出发,经过一段过渡后轨道成为两个数的交替:   x32=0.479427020   x33=0.823603283      …      …    x34=0.479427020   x35=0.823603283 ……   我们说,这是一条周期2轨道.这条轨道对初值也不敏感,所有的初值最终都殊途同归,达到这个周期2吸引子.对于虫口模型,这表明如果今年夏天虫子数目多,明年夏天就少,如此交替下去.这是较为符合实际情形的结果. 用这种方法当然只能检查有限个参量点上的动力学行为.为了纵观全局,我们用程序将图画出: 我们用屏幕的纵轴表示xn,横轴代表参量μ.从小到大取几百个参量点,在每个参量处用同样的初值x0=0.6作迭代.舍去200个过渡点,把稍后的300个迭代值都画到屏幕上.对于不动点,300个数都落到同一点上,而对于周期2,则得到上下两个点,这样得到的分岔图示于图7-9中.事实上我们舍去了兴味不大的大部分不动点参量区,只画出了μ=2.9到4的一段参量轴.       分岔图是全面反映一维映射动力学行为的简便方式.在图中我们看到不动点分岔为周期2,周期2分岔到周期4等等,最终进入了沿xn方向连成一片的混沌区.在混沌区里还可以看到不少周期窗口,其中最明显的是一个周期3窗口,即三个点交替出现的周

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