分形与分维2007.ppt

分形几何和欧几里得集合的对比 欧几里得几何 经典的（2000多年的历史） 基于特征长度和比例 图形规则 图形的层次结构有限 局部一般不具有整体的信息 图形越复杂，背后的规则也越复杂 分形几何 现代数学的怪物（30多年的历史） 无特征长度之比 实用于大自然现象 图形不规则 图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图形越复杂，其背后的规则经常越简单 2．粘性指进 粘性指进 十九世纪英国造船工程师海尔-肖(Hele-Shaw)做过一个实验：在两块一定间隔平躺着的玻璃间充大粘度液体(如甘油)。上玻璃板中央有一小孔，从中注水其它小粘度流体)。 粘性指进实验装置颇为简单。取两块平板玻璃做海尔-肖盒，一块大些(如40厘米见方)作底板，小些作面板。几个垫脚将面板支架在底板上，两者间隙约0.5~1毫米。在面板上方置一照相机拍摄图象。在底板中心钻一小孔(约2毫米)用于注水，注入水应是染色的。实验时中充上所研究的高粘性液体，如甘油、原油之类。然后通过底板的小孔注水。实验中注水的压力应是恒定的。 2．粘性指进 粘性指进 为什么水在油中呈手指形状游动呢？原来当水在油中游动时，水-油间界面受到很大压力，水的游动是界面压力平衡结果，好似一个手指顶向一块橡皮薄膜，被手指顶住地方受力最小。当油从海尔-肖盒四周外溢时，压力减小，水就以手指状的方式向四周扩散开来。粘性指进以DLA生长方式发展。 海尔-肖发现在压力的驱动下，水在甘油中并非均匀地向四周扩散开来，而呈张开的手指形状四散地游动，称“粘性指进”。 3、结构的精细性 对于非分形图形，其局部结构是简单的线性构造，经过一定比例的局部放大后我们会发现它们不再具有复杂的结构。 而分形对象则不同。他们在任何比例尺的放大下均有复杂精细的细节与结构。 4、自相似特性 所谓自相似特性，就是指物体局部与整体的相似性。如果用放大镜观察物体，不管放大多少倍，得到的结果相同，即不可能通过观测结果判断放大倍数。 5、维数的非整数性 和欧几里德传统几何学所研究的图形不同，分形图形其维数是非整数的。Koch雪花曲线的维数是1·26，而谢尔宾斯基垫片的维数则为1·58.这彻底颠覆了传统几何学中维数的整数特性，在这里零维的点，一维的线，二维的面，三维的体以及四维的时空都不再适用。 6、生成的迭代性 上图是一幅分形图形的生成过程，由此可以看出分形图形的生成过程其实是一个局部与整体相似的迭代过程。计算机运用迭代公式可以生成分形图形。 1. 豪斯道夫维数与相似维数 2. 规则分形 2.1 康托尔点集 2.2 科赫曲线 2.3 谢尔宾斯基图形 2.4 模拟分形物质 豪斯道夫维数与规则分形 1. 豪斯道夫维数与相似维数 例. 取长度为 l 的线段，放大 2 倍后的长度 2 l。边长为 l 的正方形，每边长放大 2 倍的面积为 4 l2。边长为 l 的立方体，每边长放大2倍的体积为 8 l3。 结果整理如下： 一维图形（线段） 21= 2 二维图形（正方体） 22= 4 三维图形（立方体） 23 = 8 归结： 取对数 豪斯道夫维数 豪斯道夫维数 推论：对于正规几何图形，分子为分母整除，Df 为整数，是欧几里德维数。对非规则图形，分子与分母不总可整除， Df 一般是分数，称为分维。 换一个视角： 把单位面积的正方形等分成九个小正方形，每个小正方形边长缩短为原来长度的1/3，即有： 9×(1/3)2＝1 指数 2 显然为正方形维数。该式表示局部与整体有相似关系。 相似维数 定义：假定某个几何体由N个局部组成，每个局部以相似比 b 与整体相似，则客体的相似维数为： 1. 豪斯道夫维数与相似维数 例：边长为 2l 的正方体，四等分得边长 l 的四个小正方形。小正方形边长与原正方形边长之比为＝1/2，局部与整体的相似比为： b = l/2l =1/2 ，Ds 为: 2. 规则分形 康托尔点集 构成 取一线段 [0,1] 将其三等分，各段长度为原线段的 1/3。取走中间一段，保留两侧。将留下的两段再三等分并再取走中间一段，保留两侧其余两段。继续分割、取走，留下线段愈多则长度愈短。随着线段分为无穷多段，每段长度为零，总长度也为零，构成了由无穷个点组成的点集。 许多数学家从纯数学兴趣出发，构造出一批自相似的几何图形：康托尔点集，科赫曲线，谢尔宾斯基地毯等。采用分形理论分析，看出这些图形与正规几何图形之间存在直接联系。 康托尔点集分维 它的豪斯道夫维数，每次三等分后的一小段，将此放大三倍，把中间的 1/3 段舍去得到两个1/3 段，在豪斯道夫维数公式中，L＝3，K＝2，因此有： 2. 规则分形