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微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn 一、主要内容 5、反函数与直接函数之间的关系 定理 3、连续的充要条件 2、单侧连续 4、间断点的定义 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 二、典型例题 例1 解 例2 解 利用函数表示法的无关特性 代入原方程得 代入上式得 解联立方程组 例3 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 例4 解 解法讨论 例5 解 * * 第一章 　函数与极限 习　题　课 一. 主要内容 典型例题 （一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 函 数 的定义 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数 1、函数的定义 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) (1) 函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 y x o 2、函数的性质 (2) 函数的单调性: 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上任意两点 及 ，当 时，恒有： (1) ,则称函数 在区间I上是单调增加的； 或(2) , 则称函数 在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 (3) 函数的有界性: 设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. (4) 函数的周期性: o y x 3、反函数 4、隐函数 6、基本初等函数 1）幂函数 2）指数函数 3）对数函数 4）三角函数 5）反三角函数 7、复合函数 8、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 9、双曲函数与反双曲函数 双曲函数常用公式 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 两者的 关系 无穷大 1、极限的定义 左极限 右极限 无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大: 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2、无穷小与无穷大 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质 定理 推论1 推论2 3、极限的性质 4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则 (夹逼准则) (1) (2) 6、两个重要极限 定义: 7、无穷小的比较 定理(等价无穷小替换定理) 8、等价无穷小的性质 9、极限的唯一性 左右连续 在区间[a,b] 上连续 连续函数 的 性 质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数