习题解答_现控理论_第章.doc

因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定的。 (4) 由于 故该函数V(x)为正定函数。 5-2 解：(1) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为 对实对称矩阵P作合同变换如下 因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为a5。 (2) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为 根据赛尔维斯特准则知，由于 因此，该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为 5-3 解 (1) 对实对称矩阵P作合同变换如下 因此,当2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定；当=2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定；当2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定。 (2) 对实对称矩阵P作合同变换如下 因此,该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定。 5-4 解 (1) 对本题，平衡态为代数方程组 的解,即下述状态空间中的状态为其孤立平衡态 (2) 由线性化方法，各平衡态处的线性化状态方程的系统矩阵A为 线性化系统的特征多项式为s2+s+(-1)k,因此，只有平衡态为渐近稳定的，而平衡态为不稳定的。 5-5 解：令，则状态方程为 原点是唯一的平衡态，初选 则有 当，。则在原点平衡态的这个邻域范围内，系统是稳定的。进一步，由于对所有非零状态轨迹不能恒为零，因此该平衡态为渐近稳定的。 5-6 解：(1) 显然,原点是给定系统的惟一平衡态,如果选择正定函数为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)对时间的全导数 是半负定函数，并且由于对所有非零初始状态出发的状态轨迹非恒为零，因此，该原点平衡态是渐近稳定的。 (2) 显然,原点是给定系统的平衡态。下面仅讨论原点平衡态的稳定性问题，其它平衡态可类似地进行分析。如果选择正定函数为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)对时间的全导数 在原点的一个充分小的邻域内，高阶项，因此为负定，故系统原点处的平衡态渐近稳定。 (3) 原点为系统的平衡态，选李氏函数为： 则 为半正定，原点平衡态为稳定的。更进一步，由于在原点的充分小的邻域内，当 时，，但此时，故和都不能保持恒定为零。因此，原点平衡态为渐近稳定的。 5-7 解设选择正定函数为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)对时间的全导数 因此，当，是负定函数，该原点平衡态是渐近稳定的；当，是正定函数，该原点平衡态是不稳定的；当，恒为0，该原点平衡态是稳定的，但非渐近稳定的。 5-8解 (1) 设选取的李雅普诺夫函数,其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程,可得 解出p11、p12和p22,得 经检验，对称矩阵P不为正定矩阵，因此该线性系统不是渐近稳定的。 (2) 设选取的李雅普诺夫函数,其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程,可得 解出p11、p12和p22,得 经检验，对称矩阵P为正定矩阵，因此该线性系统是渐近稳定的。 5-9解：原点是系统的一个平衡态，由 其中 解矩阵得 。 根据根据赛尔维斯特准则有： 该系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。其李雅普诺夫函数为 。 5-10解 (1) 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程: 求解上述方程,解出p11、p12和p22,得 经检验对称矩阵P为正定的,因此,系统为大范围渐近稳定的。 (2) 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程: 求解上述方程,解出P,得 经检验对称矩阵P不为正定的,因此,系统非渐近稳定的。 (3) 由李雅普诺夫代数方程,有 解出矩阵 为使为正定矩阵，根据根据赛尔维斯特准则，其充要条件是 即 ，可保证系统在原点处是大范围渐近稳定。 5-11解 由于f(x)连续可导且 可取作李雅普诺夫函数,因此,有 由矩阵函数负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的。 5-12解 由于f(x)连续可导且 因此当b(0时，正定；当b=0时，只要a(-1,正定.此时，上述 可取作李雅普诺夫函数,因此,有 因此矩阵函数负定的条件为a0, .所以综上所述,由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的条件为： b(0，a0, . 或 b=0，a-1 5-13 参见5.4.2小节的例题 5-14参见5.4.3小节的例题