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历届高等数学竞赛真题 一、极限 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、设，且，求常数 9、设，求、的值，使都存在. 10、，其中为常数。 11、 12、 13、设，求 14、 15、 16、 17、，求 18、设在邻域内可导，，，求 19、设，求 20、设函数在处连续，求 21、设，求 22、 23、 24、设，求 25、设，，求 26、 27、 28、已知数列，满足，证明： 29、已知，，，…，，…. 求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根 二、导数和微分 1、求的阶导数 2、，求 3、，求 4、设，当时，求 5、设，求 6、设，求 7、和互为连续的反函数，，求 8、设函数在上连续，在上可导，且，证明 （1）存在，使 （2）存在，使 9、设函数在上可导，且，证明存在，使 10、求点（0，4）到抛物线的最短距离 11、设在上连续，在上可导，证明至少存在一点使得 12、设具有二阶连续导数，且，是曲线上点处的切线在轴的截距，求 13、设在内有，且，证明在内有. 14、试问：方程总共有几个实根. 15、，则 。 16、设函数是由（）确定，则 。 17、设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：； （4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：. 18、设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 19、设，求。 20、已知函数在上三阶可导，且，，，试证至少存在一点，使， 21、已知在上二次连续可微,,证明 其中 . 22、求证方程有且只有一个实数根,其中常数满足. 23、设为实数，，在处可导，求的范围 24、设，是正整数，求 25、设，求 26、求方程有几个实根 27、设，求 三、积分 1、 2、 3、 （） 4、 5、（）6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 15、 16、 17、 18、连续，求 19、设，且，证明 20、当满足什么条件时，（1）无反正切函数（2）无对数函数 21、设为连续函数，且，求 22、求证 23、设，求 24、设为连续函数，证明 25设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为.⑴ 证明：存在唯一的,使得.⑵ 取何值时两部分面积之和取最小值？ 26、设函数在连续且非负，证明. 27、设是曲线与轴围成的平面图形，直线把分成和 两部分，若的面积与的面积之比，求平面图形的周长以及绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 28、设，计算积分. 29、以坐标上的平面曲线段（）绕轴旋转所构成的旋转曲面和坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为，如果以的速度把水注入容器内，水表面的面积的增大，试求曲线的方程. 30、设时，有. 31、设及，求. 32、求曲线（）绕轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积 33、设函数在（）上连续，在可导，且. （1）求证：，，等式成立. （2）求极限. 34、设（表示不超过的最大整数），求极限 35、求，使，其中 36、设函数在上连续，且，设 （1）（2）在内恰有一根 37、设的一个原函数，且，求. 38、设，求 39、设在上连续，且，求 40、设 41、，求 42、设函数满足，且对时，有，证明： （1）存在，（2）。 四、级数 1、判别级数的敛散性 （1） ； (2) （3），其中为常数 （4） 2、求和函数 （1） （2） （3） （4） （5） 3、求收敛域 （1） （2） 4、已知级数的一般项与前项的和有如下关系： （），且，求级数 5、设（），则 。 6、设，，证明级数收敛，并求其和。 7、设在处收敛，则在处（ D ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散； (D) 收敛性与an有关. 8、设幂级数 , 当时，且; （1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.. 9、求函数的定义域，并证明在定义域内有界. 10、级数，问为何