高三数学高考中常用函数模型归纳及应用.docVIP

中常用函数模型归纳及应用 山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞 高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。现归纳常用的函数模型及其常见应用如下： 常数函数y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。 例1．已知x∈(0, ],关于方程2sin(x+)=a有两个不同的实数解，则实数a的取植范围是（ ） A．[-2，2] B.[,2] C.( ,2] D.( ,2) 解析；令y=2sin(x+), y=a 画出函数y=2sin(x+)，y=a图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( ,2)，选D 一次函数y=kx+b (k≠0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。 例2．不等式2x+1≤m(x-1)对一切│m│≤2恒成立，则x的范围是（ ） A．-2≤x≤2 B. ≤x≤0 C.0≤x≤ D. ≤x≤ 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x+1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x≠1 则f(m)是关于m的一次函数，要使不等式在│m│≤2条件下恒成立，只需，解之可得答案D 二次函数y=ax+bx+c (a≠0) 二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。 例3．（1）.若关于x的方程x+ax+a-1=0有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x+ax+a-1 由题意得f(0)= a-1 ＜0,即-1＜a＜1即可。 一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。 例4．函数f(x)= x-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。 解：f(x)=（x-2）-8 当t＞2时，f(x)在[t,t+1]上是增函数 ∴g(t)= f(t)=t-4t-4 当t≤2≤t+1即1≤t≤2时， g(t)= f(2)=-8 当t+1＜2即t＜1时 f(x)在[t,t+1]上是减函数 g(t)= f(t+1)= t-2t-7,从而g(t)= 评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中，对称轴x=2确定，而区间[t,t+1]不确定即“定轴不定区间”，二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴”、“不定轴不定区间”问题，但方法都一样，“讨论对称轴和区间的位置关系”。 例5．①如果函数y=a+2a-1(a0且a≠1) 在区间[-1，1]上的最大值是14，求a的值。 ②．f(x)=-sinx+sinx+a,若1≤f(x) ≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围。 以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意──等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。解题过程略。 答案：①.a=3或 ②3≤a≤4 例6.已知a,b为常数，且a0,f(x)=x+(1-a)x-3ax+b (1).若函数f(x)的极大值是2，求a和b的关系式 （2）.若函数f(x)的极大值是2，且在区间[0，3]上的最小值是-，求a和b的值。 解答过程略。答案：(1).3a+2b=3 （2）.a=2,b=- 绝对值函数y=│x│ 这是偶函数，是画y=a│x│(a≠0)图象的基础，当a0时,开口向上；当 a0时，开口向下。 例7．画出函数y=︱︱︱x︱-1︱-1│ 按照以下的变换的方式即可：y=│x│ y=│x│-1 y=︱︱x︱-1︱ y=︱︱x︱-1︱-1 y=︱︱︱x︱-1︱-1│︳， 答案如上图所示。 例8．函数y=a│x│和y=x+a图象恰有两个交点，则a的取值范围是（ ） A.(1,+∞) B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析：（ⅰ）若a=0, y=a│x│=0与y=x只有一个交点；