中药、乐谱、颜色、分子式、足球赛的数学表示.doc

字符多项式与表格数学 张学文 zhangxw@ 关键词：多项式 表格 字符多项式 表格数学 摘 要：提出了一种新的数学工具，称为“字符多项式”。它可以描述选举、颜色、中药、乐谱、表格等很多事物。字符多项式为一些学科引用数学工具提供了新的思路和技术。字符多项式与表格是等价的，研究它还可以发展表格数学。 1.引言 广泛引用“符号”表示一类事物是很多学科走向科学化的重要环节，也是引入数学分析和逻辑分析、发现客观规律的前期准备。符号化和数量化的程度是一门科学的成熟程度的标志。皮亚诺（G.Peano）说“在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反映”。 现在的很多科学分科以定性描述为主。这些学科由于没有引入合适的符号，有人认为它还没有站在“科学”的起跑原点上。基本概念和事实的符号化对于很多学科是重要问题。 我们发现一些与数学交往很少的领域（如选举、颜色、中药、乐谱等），可以利用一种类似多项式的符号统一表示它们。我们把这种表示形式暂且称为字符多项式。字符多项式可以在各种学科中找到大量的实例，这为很多学科走上符号化和利用数学成果打开了道路。 我们经常使用各种表格。“表格”不仅是更规范化的语言，也是字符多项式的变态，一切的表格都可以化为对应的字符多项式。 字符多项式是一种符号化的描述事物的方法，也是数学研究的对象。揭示字符多项式的规律会支援定性的学科走向符号化、数学化。对字符多项式的研究还可以发展表格数学。 2.字符多项式 字符多项式与普通代数学中的多项式有类似的外型，主要区别在于它的“符号”一般代表着“字符串”而不限定它仅代表“数”。一般用斜粗体的字符如A，B等表示某个字符多项式。它的写法与代数中的多项式类似。对字符多项式A一般写为 A=a1x1+a2x2+… A=∑aixi 上面仅有一个求和符号∑的字符多项式称为一阶字符多项式。二阶的字符多项式是 B=a1,1x1y1+a1,2x1y2+…+ a2,1x2y1+a2,2x2y2+… B=∑∑ai,jxiyj 它有两个求和号（其ai,j对应一个矩阵），余此类推。仅有一项（没有求和符号∑）的字符多项式是零阶的。 字符多项式的各个xi（i=1，2，…，k）一般称为字符多项式的变量。ai称为“系数”，它的地位与一般多项式的系数类似，而变量和系数都可以是“字符串变量”（计算机语言）。即它们在一般情况下是一些名词，仅在特殊场合是数值。变量和函数值可以是“字符串”，这是它与一般代数学里的多项式的区别。∑显然是沿用数学中的求和符号，所以本表达式包括了加法（“+”号）。“+”号一般表示“和”、“还有”、“ 以及”、“随后”等等。它具有该字符多项式特有的运算含义。有时为了避免变量与系数中的数值混淆，可以把变量放到括号中。 3例子 1、身高（物理学）：用A表示某人的身高为1.7米（m），就得到了一个仅有一项的多项式：A=1.7米。这里1.7是系数，“米”就是x这个字符串变量的值。本例说明物理学中含有单位的表示物理量的方法本身就是字符多项式的特例，它对应的是零阶字符多项式。 2、矢量（数学）：平面直角坐标中的一个点A距x轴的原点有3个单位距离，距y轴的原点有4个单位距离（3，4），数学中可以写为3i+4j ，这里i、j 分别是x、y方向的单位矢量。解析几何学中的这种表示一个点的位置的方法本身符合我们的字符多项式定义。把这个点记为A，有A=3i+4 j这说明数学中的一种表示向量的方法也是字符多项式的特例。我们可以把字符多项式看作是一个矢量。“+”号在这里表示矢量运算中的加法。 有了定义和这两个例子很容易用它表示例如分子式、选举、颜色、中药、乐谱等各种事物。 3、分子式（化学）：过去用H2S04表示硫酸分子。但是它也可以用字符多项式表示为：硫酸分子=2H+S+4O 。H、S、O在这里分别表示一个氢原子、一个硫磺原子和一个氧原子，而2，1，4分别是对应的函数值（函数值为1时，1省略，从数学惯例）。“+”号在这里表示“还有”。 所以每个化合物的分子式都可以用字符多项式表示。化合物有上百万种，于是我们也有上百万个字符多项式的实例了。 4、选举（社会学）：甲乙丙三人为被选举人，一次投票结果用字符多项式表示为A=56甲+44乙+5丙，其含义当然是甲得了56张选票、乙、丙分别得44、5张。所以每个选举结果都是一个字符多项式。“+”号在这里表示“还有”。 5、颜色（美术）：如何表示一种颜色？在美术界和计算机中的一种做法是把任何一个颜色A用红、绿、蓝三种颜色的不同权重来表示。如果有A=100红+75绿+210蓝，A就符合字符多项式的定义，如果规定函数值的最大值为225（电脑中就这么规定），那么上面的字符多项式就表示了一个确定的颜色（本例为紫色）。红、绿、蓝就是本字符多项式中的三个字符串变量的值，而100，75，2