维数.基与坐标.ppt

* §3 基与坐标 主要内容 向量的线性相关性 线性空间的维数 目录 下页 返回 结束 基与坐标 * 一、向量的线性相关性 首页 上页 下页 返回 结束 * 首页 上页 下页 返回 结束 * 首页 上页 下页 返回 结束 * 以上概念与 n 元数组相应概念的关系 以上定义与 n 元数组相应概念的定义完全相同因为以 n 元数组为元素的向量空间，就是我们这里所定义的线性空间的一个实例. 不仅如此，在第三章中，从这些定义出发对n 元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域 P 上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论. 首页 上页 下页 返回 结束 * 几个常用结论 1. 单个向量 ? 是线性相关的充分必要条件是 ? = 0 . 两个以上的向量 ?1 , ?2 , …, ?r 线性相关的 充分必要条件是其中有一个向量是其向量的线性组 合. 证 只证两个以上的情形. 先证必要性. 设 ?1 , ?2 , …, ?r 线性相关，则 存在不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使得 k1?1 + k2?2 + …+ kr?r = 0. 首页 上页 下页 返回 结束 * 为表述简便，不妨设 k1 ? 0 , 于是 即 ?1 可由?2 , ?3 , …, ?r 线性表出. 必要性得证. 再证充分性. 设 ?1 , ?2 , …, ?r 中的一个向量 ?j 可由其余向量线性表出，即 ?j = l1?1 + … + lj-1?j-1 + lj+1?j+1 + … + lr?r , 于是 l1?1 + … + lj-1?j-1 +(-1)?j + lj+1?j+1 + … + lr?r = 0 首页 上页 下页 返回 结束 * 由于l1 , …, lj-1 , -1 , lj+1 , … , lr 不全为零，所以 ?1 , ?2 , …, ?r 线性相关，充分性得证. 2. 如果向量组?1 , ?2 , …, ?r 线性无关, 而且可以被 ?1 , ?2 , …, ?s 线性表出，那么 r ? s . 证 用反证法. 假设 r s . 由已知 ?1 , ?2 , …, ?r 可以被 ?1 , ?2 , …, ?s 线性表出，即 为了找出矛盾，又设 x1?1 + x2?2 + … + xr?r = 0 , 首页 上页 下页 返回 结束 * 即 令上式中 ?j ( j = 1, 2, … , s ) 的系数全为零，得 这是一个关于 x1 , x2 , … , xr 的齐次线性方程组， 由于方程的个数 s r (未知量的个数)，因此方程 组必有非零解,从而有不全为零的 数x1 , x2 , … , xr 使 x1?1 + x2?2 + … + xr?r = 0 , 故?1 , ?2 , …, ?r 线性 相关与已知矛盾. 因此 r ? s . 首页 上页 下页 返回 结束 * 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量. 3. 如果向量组?1 , ?2 , …, ?r 线性无关，但向量组 ?1 , ?2 , …, ?r , ? 线性相关，那么 ? 可以被 ?1 , ?2 , …, ?r 线性表出，而且表法是唯一的. 证 由于向量组 ?1 , ?2 , …, ?r , ? 线性相关, 所以存在不全为零的数 k1 , k2 , … , kr , k，使得 k1?1 + k2?2 + …+ kr?r + k? = 0 , 其中 k 必不等于零. 因为如果 k = 0 ，则由 ?1 , ?2 , …, ?r 线性无关又得 k1 , k2 , … , kr 必全为零，与题 首页 上页 下页 返回 结束 * 设矛盾. 于是由上式可得 即 ? 可由 ?1 , ?2 , …, ?r 线性表出. 再证表示法唯一. 设有两种表示法： ? = k1?1 + k2?2 + …+ kr?r , ? = l1?1 + l2?2 + …+ lr?r , 于是 (k1 - l1)?1 + (k2 - l2) ?2 + …+ (kr - lr) ?r = 0， 由于?1 , ?2 , …, ?r 线性无关，所以 ki - li = 0，即 ki = li ，i = 1 , 2 , … , r . 故表示法唯一. 首页 上页 下页 返回 结束 * 例 1 证明 线性无关. 证 设有三个数 k1 , k2 , k3 使 k1 p1(x) + k2 p2(x) + k