第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛.docVIP

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷答案（六年级组） 填空（每题10分，共80分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 254948903981 0.5 71 1727 486;8 74 48 注：第6题，每空5分． 二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9、解：①由已知条件 ，， 由三角形内角和是180°，在三角形ADC中， ． （给4分） ②又因为 ，所以 ． 在三角形BAD中，，即： ，解得 （给4分） ③又因为，，， ． 因此图中的三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形．（给2分） 答：，三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形． 评分参考：见解答过程；仅给出正确的答案，无过程，只给4分． 10、解法一：设货车车速为x千米/小时，由题意， ， 解上面方程 得到 （千米/小时）． 解法二：货车总长 （千米），（2分） 客车行进的距离 （千米） （2分） 货车行进的距离 （千米） （2分） 货车的速度：（千米/小时） （4分） 答：货车车速为每小时44千米． 评分参考：解法一，①能列出方程，给5分；②正确解出方程给5分；解法二，见解答． 11、解答：填数的方法是排除法，用（m,n）m行和第n列的方格． 方格图（题目中涂6）第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以，在方格（6，4）中只能填数字8；第3行和第5行中都有数字9，所以在方格（7，4）中只能填9；正中的“小九宫”格中已经有7，所以，7只能填在方格（3，4）中了；此时，在第4列中只余下方格（5，4），6只能填在（5，4）中，见图6a．这个9位数是327468951． 图6a 评分参考：①正确给出答案，给4分；②对图5第4列中4个空格的填法，能说明理由，给6分，每个空格正确给1.5分；③即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法，要适当给分． 12、解法一：为使全班同学的平均成绩达到90分，需要将2名得优的同学和1名没有得优的同学匹配为一组，即得优的同学至少应当是没有得优同学的两倍，才能确保全班同学的平均成绩不少于90分． 解法二：设全班有n位同学，其中得优的为x人，没得优的为人，则全班同学的总分为 ，平均分为： ， 要使全班的平均成绩不少于90分，即 ，即 ，． 答：得优的同学占全班同学的比例至少是． 评分参考：①能判断出得优的人数至少是未得优人数得2倍，给5分，给出正确答案，再给5分；②仅有正确（或猜出）答案，只给5分． 三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13、分析：（1）图7中的等边三角形按照面积大小分类有3种类型，共14个，图7a中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个 小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形 有6个顶点，图7中有6个小号等边三角形； 图7b中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，图中有6个中号等边三角形；图7c中，大号等边三角形有2个． （2）图7中的非等边等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，共有24个，见图7d． 小号（黑色）等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其长边．并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，见图7d．正六边形共有6条边，所以有6个小号等腰三角形； 中号（圆点）等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图7e，这样的弦共有6条，所以有12个中号三角形； 大号（灰色）等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上有对应有2个大号三角形，如图7f．共有3条直径，所以有6个大号（灰色）等腰三角形； 答：图中共有38个等腰三角形． 评分参考：①能分类计算等腰三角形个数，例如：能依照等边三角形和非等边的等腰三角形分类计数，然后依大小再做分类计数，按照等边三角形计数，给6分，按照非等边的等腰三角形分类计数，则给9分；②仅仅给出正确答案，未讲理由，只给5分；③可以用其它分类方法计数．例如：假定正六边形面积是18，则可以依面积分别为1、3、4、9计算等腰三角形的个数，计数的关键是抓住特征做分类，不重复和不遗漏，培养严谨的思维．建议以这种原则判题给分，每类给3—4分． 14、解答：按照题意，如果依顺时针方向不间