开发动态Web网站的几种技术.ppt

这是一个n次多项式，具有n+1项。其中pk（xk,yk,zk）,k=0,1,2….n是控制多边形的n+1个顶点；BENk,n（t）是Bernstein基函数，具有如下形式： 如果规定：00和0！均为1，那么当t=0时： t=1 时： 从以上结果可以得出一个结论：曲线通过多边形折线的起点和终点！ * * 曲线曲面 从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞机等的外形，直至日常生活中的图案和花样设计，都离不了对曲线的描述和绘制。可以说，几乎没有一张设计图纸上是没有曲线的。 在我们遇到的各种各样的曲线中，归纳起来，大概不外乎两类： 一类是曲线可以用一个标准的解析式来表示，称为曲线的方程。 第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线的方程，它们往往是由一些从实际测量得到的一系列离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。 一、绘制曲线的基本方法 在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的点都能符合某种条件，而满足该条件的点又均位于这条曲线上，那么可以把这种对应关系写成一个确定的函数式： 这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即为这个方程的曲线。如圆、椭圆、双曲线等的方程。 在绘制这些曲线的时候，可以借助于各种标准工具。如画圆可以用圆规等。但对于非圆曲线，绘制时的更一般方法是借助于曲线板。 先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。 其实，上面所说的方法也就是用计算机来绘制各类曲线的基本原理。 由于图形输出设备的基本动作是显示像素点或者是画以步长为单位的直线段，所以，一般除了水平线和垂直线以外，其它的各种线条，包括直线和曲线，都是有很多的短直线段构成的锯齿形线条组成的。从理论上讲，绝对光滑的理想曲线是绘不出来的。 这就告诉了我们一个绘制任何曲线的基本原理，就是要把曲线离散化---把它们分割成很多短直线段，用这些短直线段组成的折线来逼近曲线。至于这些短直线段取多长，则取决于图形输出设备的精度。 在实际工程中经常会遇到这样的问题：由离散点来近似地决定曲线和曲面。如通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。 通常，几何产品的几何形状大致可分为两类或由这两类组成： 一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面等组成，它们可以用画法几何与机械制图完全清楚地表达和传递所包含的全部形状信息。 另一类由以复杂方式自由变化的曲线曲面，即所谓的自由曲线曲面组成。如飞机、汽车、船舶的外形零件等。显然，这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。 随着计算机的普及和应用，人们发现可以用数学方法惟一地定义自由曲线曲面的形状，由此导致了一门学科的诞生：计算机辅助几何设计CAGD（Computer Aided Geometric Design） CAGD是综合了微分几何、代数几何、数值计算、逼近论、拓扑学以及数控技术等的一门边缘性学科。依据定义形状的几何信息可建立相应的曲线曲面方程，即数学模型。并在计算机上通过计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其它信息。 实际上，在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机表示，即需建立既适合于计算机处理，又有效地满足形状表示与几何设计要求，同时还便于进行形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。计算机处理曲线曲面的内容是很丰富的，本章只讨论其中曲线曲面的表示与设计的基本方法。 二、曲线曲面基础 1、曲线曲面数学描述的发展 弗格森双三次曲面片 孔斯双三次曲面片 样条方法 Bezier方法 B样条方法 有理Bezier 非均匀有理B样条方法 2、曲线曲面的表示要求 唯一性 几何不变性 易于定界 统一性 易于实现光滑连接 几何直观 3、曲线曲面的表示 在解析几何中，空间曲线上一点p的每个坐标被表示为某个参数t的函数： 把三个方程合在一起，三个坐标分量就组成曲线上该点的位置矢量，曲线被表示为参数t的矢量函数： 它等价于笛卡儿分量表示： 这样，给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。 假设曲线段对应的参数区间为[a,b]，即a≤t≤b。为方便起见，可以将区间[a,b]规范化成[0,1]，所需的参数变换为： 不失一般性，假定参数t在[0,1]之间变换，于是，得到曲线的参数表示形式： 该形式把曲线上表示一个点的位置矢量的各个分量合写在一起当成一个整体，考虑的是曲线上点之间的相对位置关系而不是它们与所取坐标系之间的相对