2.4连续随机变量详解.ppt

2.4 连续型随机变量 二、几个常用的连续型分布 3. Gamma分布 4.正态分布 总 结 解 例7. 设X～N(0, 1), 查表计算 P239 附表1 =0.9772 对一般的正态分布 ：X ~ N ( ? ,? 2) 其分布函数 作变量代换 即 ： ~ N (0 ,1) 例8. 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 ? X ? 1.6) 解 P239 附表1 =0.6179-(1-0.6915) =0.3094 例9.已知 且 P( 2 X 4 ) = 0.3, 求 P { X 0 }. 解. 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， 3 准则 P{|X| 3}=2 (3)-1=0.9974 P{|X| 1}=2 (1)-1=0.6826 P{|X| 2}=2 (2)-1=0.9544 将上述结论推广到一般的正态分布, 时， 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 区间内. 这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）. EX.一种电子元件的使用时间Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求使用的最初90小时内无一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 故 则Y~B(3,p), 其中 * * 定义 设X是随机变量, F(x)是它的分布函数. 若存在一个非负可积函数 f(x)(－?x＋?), 使得 则称X是连续型r.v., f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.) 一、连续型 r.v.的概念 由定义可知, 连续型随机变量的分布函数是连续函数, 是密度函数的变上限的定积分. 由上式可得，在f (x)的连续点, (2) 规范性 Th1( 密度函数的特征性质) (1) 非负性 f (x)?0, (－?x＋?); 注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率密度函数不唯一. 注2 满足上述两条性质的函数必是某一随机变量的密度函数. 故常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d. f. (求f(x)中未知参数!) Th2 设连续型r.v.X 的分布函数(c.d.f.)为F(x), 概率分布密度函数为f(x), 则 (2) 若x是f(x)的连续点, 则 (1) F(x)为连续函数; (3)对任意实数c, 则P{X=c}＝0. 因为: (4) 可见,密度函数全面描述了连续型随机变量的规律. (——求F(x)中未知参数!) 注1. 几何意义: 它是以(a,b]为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积. 面积为1 f(x) 注2. 由P(A)=0不能推出A=φ;由P(B)=1不能推出B=Ω. 注3.当 Δx 很小时, 2 设随机变量X的概率密度为 求常数a. 1 证明 为概率分布密度函数. 1 证 ★密度函数值f(a)并不反映X取a值的概率.但这个值越大,X取a附近值的概率就越大.也可以说,在某点密度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 1)求X的分布函数F(x); 2)求P{0.5X1.5} 解： 例1.已知随机变量X的概率密度为 当x 0时,F(x)= 当0 ￡ x 1时， f(x)是分段函数, 求F(x)时要分段求. =0 P{0.5X1.5}= 当1 ￡ x 2时, 当x ?2时, 必然事件! =1 F(1.5)-F(0.5)=3/4 例2. 设X的密度函数为 试确定常数A,并求 解： 例3. 设随机变量X 的分布函数为 (1)求常数A的值; (2)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率; (3)求X的概率密度. 解: 定义f (1)＝2, 则 (1)∵F (x)为右连续函数 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 1. 均匀分布 U(a, b) 若r.v.X的p.d.f.为 f(x) a b x 0 1 注2 均匀分布的特征性质： X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是 (1) X 落在(a, b)概率为1, 落在区间外的概率为0; (2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比. 注1 对任意实数c, d (acdb)，都有 说明r.v.X落在(a,b)区间上任一点的可能性都相同. 注3 均匀分布的分布函数： P40 例13 当x≤