2.3.1离散型随机变量的数学期望详解.ppt

* 某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人数.下表是在100天中的记录.计算每天平均有多少人迟到？ 20 20 30 30 天数 3 2 1 0 人数 解法1:(0×30+1×30+2×20+3×20)/100=1.3 解法2: 0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 20/100 20/100 30/100 30/100 P 3 2 1 0 X 问题：已知分布列如何求均值？ 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 　 则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1 新课讲授 随机变量的均值或数学期望反映了随机变量取值的平均水平 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 新课讲授 若Y=aX+b ,其中a,b为常数，那么E（Y）=? 可以证明：E（aX+b)=aE(X)+b 证明见P60和p73 1、某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 能否估计出该射手n次射击的平均环数？ 2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下： X1 0 1 2 3 pk 0.7 0.1 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术？ ξ 4 5 6 7 8 9 10 p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 练习： 8.32 甲0.6，乙0.7 例1：已知随机变量X的分布列如下： 几何分布： 独立重复试验（贝奴利试验）中，事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布. 超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中有一类物品的件数为M，从所有物品中任取n件（n不超过N），这n件中所含的这类物品的件数X所服从的分布. 二项分布： n次独立重复试验（贝奴利试验）中，事件发生的次数X服从二项分布. 两点分布： 1次试验（贝奴利试验）中，事件发生的次数X服从两点分布. 例2： 一个袋子里装有大小相同的2个白球和1个黑球，有放回的从中取球，取了4次，求取到黑球个数的期望. E(X)=4/3 1/81 8/81 24/81 32/81 16/81 P 4 3 2 1 0 X 若X～B（n，p），则E（X）= np 例3：一次单元测验由12个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分60分.学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值. 甲选项正确的个数X~B(12，0.9) E(X)=10.8 甲得分Y=5X E(Y)=54 乙的选项正确的个数Z~B(12,0.25) E(Z)=3 乙得分Z`=5Z E(Z`)=15 例4 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望. X服从超几何分布，E(X)=Nm/N=3*15/9=5/3 X服从超几何分布，E(X)=140/84=5/3 10/84 40/84 30/84 4/84 P 3 2 1 0 X 例5 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑球，从中取出一个小球若是黑球则放回重取，若是白球则停止取球，求停止取球时所需要的取球次数X的期望. 320/6561…… 80/729 20/81 5/9 P 4… 3 2 1 X 若X服从两点分布，则E（X）= p 若X～B（n，p），则E（X）= np 若X服从参数为N，M，n的超几何分布， 则E（X）= 若X服从几何分布，则E（X）= 2、性质 1.统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇雨天则带来经济损失4万元,假设五一劳动节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？ 4.42 实际应用： 2：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备，有以下3种方案： (1)运走设备，搬运费为3800元. (2)建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水. (3)不采取措施. 试比较哪一种方案好. 3 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险